Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn và $AB > AC$. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$. Đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ cắt đường tròn $(O; R)$ tại điểm thứ hai là $D$. Kẻ $DM$ vuông góc với $AB$ tại $M$.

a) Chứng minh tứ giác $BDHM$ nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh $DA$ là tia phân giác của $\widehat{MDC}$.

c) Gọi $N$ là hình chiếu vuông góc của $D$ lên đường thẳng $AC$, chứng minh ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, $AB\lt AC$ và tam giác này nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Kẻ ba đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh bốn điểm $B$, $F$, $E$, $C$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $K$. Chứng minh $KE.KF=KB.KC$.

c) Gọi $I$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BFEC$ và $M$ là giao điểm của $AK$ và đường tròn $(O;R)$. Chứng minh $\widehat{KAC} = \widehat{KFM}$ và ba điểm $M$, $H$, $I$ thẳng hàng.

Cho đường tròn $(O)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ trên cung nhỏ $AC$ ($M$ khác $A$ và $C$). $BM$ cắt $AC$ tại $H$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.

a) Chứng minh bốn điểm $C,\,B,\,K,\,H$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi $I$ là giao điểm của $MB$ và $OC$. Chứng minh $\widehat{ACM}=\widehat{ACK}$ và $MA.MC=MK.MI$.

c) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MKC$ và ba điểm $D,\,M,\,K$ thẳng hàng.

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Kẻ $EF$ vuông góc với $AD$ tại $F$.

a) Chứng minh tứ giác $ABEF$ nội tiếp.

b) Chứng minh tia $BD$ là tia phân giác của góc $CBF$.

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $M$ nằm ngoài $(O)$. Từ $M$ kẻ tiếp tuyến $MA, \ MB$ với $(O)$ trong đó $A, \ B$ là các tiếp điểm. Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $MO$.

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A(AC\lt AB)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $A$ với đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $K$. Từ $K$ kẻ tiếp tuyến thứ hai với $(O)$ tại $D$. Gọi $H$ là giao điểm của $AD$ và $BC$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB\lt AC )$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $BE$ và $CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$. Gọi $K$ là trung điểm $BC.$

a) Chứng minh $\Delta AEF \backsim \Delta ABC.$

b) Chứng minh đường thẳng $OA\bot EF.$

c) Đường phân giác góc $FHB$ cắt $AB$ và $AC$ lần lượt tại $M$ và $N$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN,\,J$ là trung điểm của $AH$. Chứng minh tứ giác $AFHI$ nội tiếp và ba điểm $I,\,J,\,K$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ nhọn. Đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $E$ và $D$; $BD$ cắt $CE$ tại $H$, $AH$ cắt $BC$ tại $I$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AM$, $AN$ của đường tròn $(O)$ ($M$, $N$ là tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác $AEHD$ nội tiếp.

b) Chứng minh $AB.BE=BI.BC$, từ đó suy ra $AB.BE+AC.CD=BC^2$.

c) Chứng minh ba điểm $M$, $H$, $N$ thẳng hàng.

Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn $(A B\lt A C)$, nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $A D, B E, C F$ của tam giác $A B C$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh $4$ điểm $A, C, D, F$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh tam giác $F H D$ đồng dạng tam giác $F E C$.

c) Đường thẳng $A D$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $K$. Đường thẳng $K F$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $P$. Gọi $N$ là giao điểm của $C P$ và $E F, I$ là trung điểm của $A H$ và $M$ là trung điểm của $B C$. Chứng minh tam giác $F H K$ đồng dạng tam giác $N E C$ và ba điểm $M, N, I$ thẳng hàng.

Từ điểm $A$ nằm ngoài $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $AB, \, AC$ với đường tròn ($B,C$ là các tiếp điểm). Kẻ đường kính $CD$ của $(O)$.

a) Chứng minh $BD$ // $AO$.

b) $AD$ cắt $(O)$ tại $E$, ($A, \, E, \, D$ theo thứ tự). Chứng minh rằng $AB^2=AE.AD$.

c) Vẽ $BH \perp DC$ tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm của $BH$. Chứng minh ba điểm $A,\,I,\,D$ thẳng hàng.