Khoá học Lớp 12 Toán 12 Kết nối tri thức với cuộc sống Bài 6. Vectơ trong không gian Bài tập Vectơ trong không gian (SGK)

Phần 1

(12 câu)
Câu 1
1đ

Trong không gian, cho ba vectơ a→, b→, c→\overrightarrow{a}, \, \overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c} phân biệt và đều khác 0→\overrightarrow{0}. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)
a) Nếu a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} đều cùng hướng với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.
b) Nếu a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} đều ngược hướng với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng hướng.
c) Nếu a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} đều cùng hướng với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} ngược hướng.
d) Nếu a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} đều ngược hướng với c→\overrightarrow{c} thì a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} ngược hướng.
Câu 2
1đ

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có AB=2, AD=3AB = 2, \, AD = 3 và AA′=4AA' = 4.

Câu 1:

Độ dài của vectơ BB′→\overrightarrow{BB'} bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Câu 2:

Độ dài của vectơ BD→\overrightarrow{BD} bằng

1313.
5\sqrt{5}.
13\sqrt{13}.
55.
Câu 3:

Độ dài của vectơ BD′→\overrightarrow{BD'} bằng

2929.
29\sqrt{29}.
13\sqrt{13}.
20\sqrt{20}.
Câu 3
1đ

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ a→\overrightarrow{a}) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ b→, c→, d→, e→\overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c}, \, \overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{e}).

Hình 2.29

Câu 1:

Khẳng định nào sau đây đúng về mối quan hệ phương và hướng của các vectơ trên?

Các vectơ b→, c→, d→, e→\overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c}, \, \overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{e} cùng hướng với nhau và cùng hướng với vectơ a→\overrightarrow{a}.
Các vectơ b→, c→, d→, e→\overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c}, \, \overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{e} cùng hướng với nhau và ngược hướng với vectơ a→\overrightarrow{a}.
Tất cả các vectơ a→, b→, c→, d→, e→\overrightarrow{a}, \, \overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c}, \, \overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{e} đều cùng hướng với nhau.
Các vectơ b→, c→, d→, e→\overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c}, \, \overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{e} có phương đôi một vuông góc với nhau.
Câu 2:

Giải thích vì sao các vectơ b→, c→, d→, e→\overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c}, \, \overrightarrow{d}, \, \overrightarrow{e} đôi một bằng nhau?

Vì các chân bàn song song với nhau nên mọi vectơ đặt tại các chân bàn đều bằng nhau.
Vì các vectơ này đều ngược hướng với trọng lực a→\overrightarrow{a} nên theo quy tắc hình hộp chúng phải bằng nhau.
Vì chiếc bàn hình chữ nhật nên các chân bàn có độ dài bằng nhau, dẫn đến các vectơ biểu diễn phản lực bằng nhau.
Vì trọng lực phân tán đều qua bốn chân bàn nên các phản lực có độ lớn như nhau, kết hợp với việc chúng cùng hướng nên các vectơ này đôi một bằng nhau.
Câu 4
1đ

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'.

Câu 1:

Để chứng minh đẳng thức AB→+DD′→+C′D′→=CC′→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{CC'}, xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)
a) Vì ABCDABCD là hình bình hành nên AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}.
b) Vì CDD′C′CDD'C' là hình bình hành nên C′D′→=CD→\overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{CD}.
c) Tổng AB→+C′D′→=0→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{0}.
d) Hai vectơ DD′→\overrightarrow{DD'} và CC′→\overrightarrow{CC'} là hai vectơ đối nhau.
Câu 2:

Để chứng minh đẳng thức AB→+CD′→−CC′→=0→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD'} - \overrightarrow{CC'} = \overrightarrow{0}, xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)
a) Vì ABCDABCD là hình bình hành nên AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}.
b) Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có DC→+CD′→=DD′→\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CD'} = \overrightarrow{DD'}.
c) Vì CDD′C′CDD'C' là hình bình hành nên DD′→=CC′→\overrightarrow{DD'} = \overrightarrow{CC'}.
d) Hiệu của hai vectơ DD′→\overrightarrow{DD'} và CC′→\overrightarrow{CC'} là vectơ 0→\overrightarrow{0}.
Câu 3:

Để chứng minh đẳng thức BC→−CC′→+DC→=A′C→\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A'C}, xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)
a) Ta có BC→=−CB→\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{CB} và DC→=−CD→\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD}.
b) Biểu thức BC→−CC′→+DC→\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{DC} bằng −(CB→+CC′→+CD→)-(\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{CD}).
c) Các đoạn thẳng CB, CC′, CDCB, \, CC', \, CD là ba cạnh của hình hộp cùng xuất phát từ đỉnh CC.
d) Theo quy tắc hình hộp, CB→+CC′→+CD→=AC′→\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC'}.
Câu 5
1đ

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ABC.A'B'C' có AA′→=a→, AB→=b→\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{a}, \, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} và AC→=c→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}.

Câu 1:

Biểu diễn vectơ AB′→\overrightarrow{AB'} qua các vectơ a→, b→, c→\overrightarrow{a}, \, \overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c} ta được

AB′→=a→+b→\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}.
AB′→=a→+b→+c→\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.
AB′→=b→−a→\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}.
AB′→=a→−b→\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}.
Câu 2:

Biểu diễn vectơ B′C→\overrightarrow{B'C} qua các vectơ a→, b→, c→\overrightarrow{a}, \, \overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c} ta được

B′C→=−a→+b→+c→\overrightarrow{B'C} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.
B′C→=−a→−b→+c→\overrightarrow{B'C} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.
B′C→=a→−b→+c→\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.
B′C→=a→+b→−c→\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}.
Câu 3:

Biểu diễn vectơ BC′→\overrightarrow{BC'} qua các vectơ a→, b→, c→\overrightarrow{a}, \, \overrightarrow{b}, \, \overrightarrow{c} ta được

BC′→=a→+b→−c→\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}.
BC′→=−a→−b→+c→\overrightarrow{BC'} = -\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.
BC′→=a→−b→+c→\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}.
BC′→=−a→+b→−c→\overrightarrow{BC'} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}.
Câu 6
1đ

Cho hình chóp tứ giác S.ABCDS.ABCD. Hoàn thành các bước chứng minh tứ giác ABCDABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu SA→+SC→=SB→+SD→\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}.

Chứng minh

Đẳng thức đã cho tương đương với: SA→−SB→=\overrightarrow{SA} - \overrightarrow{SB} = .

Theo quy tắc hiệu hai vectơ, điều này tương đương với: BA→=\overrightarrow{BA} = .

Đẳng thức BA→=CD→\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD} có nghĩa là tứ giác ABCDABCD là

SC→−SD→\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SD}SD→−SC→\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{SC} hình chữ nhậtDC→\overrightarrow{DC}hình bình hành CD→\overrightarrow{CD} hình thoi .

(Kéo thả hoặc click vào để điền)

Câu 7
1đ
Tự luận

Cho hình chóp S.ABCS.ABC. Trên cạnh SASA, lấy điểm MM sao cho SM=2AMSM = 2AM. Trên cạnh BCBC, lấy điểm NN sao cho CN=2BNCN = 2BN. Chứng minh rằng MN→=13(SA→+BC→)+AB→\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB}.

Câu 8
1đ

Trọng tâm của tứ diện ABCDABCD là một điểm II thoả mãn AI→=3IG→\overrightarrow{AI} = 3\overrightarrow{IG}, ở đó GG là trọng tâm của tam giác BCDBCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến mỗi mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 88 cm (như hình vẽ).

Hình 2.30

Trả lời: cm.

Câu 9
1đ

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau. Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng.

Hình 2.31

Khẳng định nào sau đây giải thích đúng nhất cho hiện tượng này?

Vì ba lực kéo có độ lớn bằng nhau nên ba sợi dây tạo thành một hình chữ y đồng phẳng.
Vì khối lượng dây không đáng kể nên trọng lực bằng không, do đó các dây tự động nằm ngang trên một mặt phẳng.
Vì hệ cân bằng nên tổng ba vectơ lực bằng 0→\overrightarrow{0}, do đó vectơ này biểu diễn được qua hai vectơ kia nên ba vectơ đồng phẳng.
Vì ba sợi dây cùng chung một nút thắt nên theo định lí Thalès chúng luôn đồng phẳng.
Câu 10
1đ

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 11 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 22.

Câu 1:

Góc và tích vô hướng của cặp vectơ AA′→\overrightarrow{AA'} và C′C→\overrightarrow{C'C} lần lượt là

180∘180^\circ và −4-4.
90∘90^\circ và 00.
0∘0^\circ và 44.
180∘180^\circ và −2-2.
Câu 2:

Góc và tích vô hướng của cặp vectơ AA′→\overrightarrow{AA'} và BC→\overrightarrow{BC} lần lượt là

90∘90^\circ và 00.
0∘0^\circ và 22.
45∘45^\circ và 2\sqrt{2}.
180∘180^\circ và −2-2.
Câu 3:

Góc và tích vô hướng của cặp vectơ AC→\overrightarrow{AC} và B′A′→\overrightarrow{B'A'} lần lượt là

135∘135^\circ và −1-1.
135∘135^\circ và −2-\sqrt{2}.
45∘45^\circ và 11.
90∘90^\circ và 00.
Câu 11
1đ

Trong không gian, cho hai vectơ a→\overrightarrow{a} và b→\overrightarrow{b} cùng có độ dài bằng 11. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là 45∘45^\circ.

Câu 1:

Giá trị của tích vô hướng a→⋅b→\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} bằng

12\dfrac{1}{2}.
11.
22\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
−22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Câu 2:

Giá trị của biểu thức (a→+3b→)⋅(a→−2b→)(\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}) bằng

10−22\dfrac{10 - \sqrt{2}}{2}.
−5+22\dfrac{-5 + \sqrt{2}}{2}.
−10+22\dfrac{-10 + \sqrt{2}}{2}.
−5+2-5 + \sqrt{2}.
Câu 3:

Giá trị của biểu thức (a→+b→)2(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})^2 bằng

22.
1+21 + \sqrt{2}.
2+22 + \sqrt{2}.
2−22 - \sqrt{2}.
Câu 12
1đ
Tự luận

Cho tứ diện ABCDABCD. Chứng minh rằng:

a) AB→⋅CD→=AC→⋅CD→+BC→⋅DC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{DC};

b) AB→⋅CD→+AC→⋅DB→+AD→⋅BC→=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{BC} = 0.

Báo lỗi

Nhận 1-3 ngày VIP từ OLM với mỗi lỗi được thông báo đúng

Loại lỗi
Mô tả lỗi