Bài tập Tính đơn điệu và cực trị hàm số (SGK)

Câu 1

1đ

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số có đồ thị như sau:

Câu 1:

Hình 1.11

Với đồ thị hàm số $y = x^3 - \dfrac{3}{2}x^2$ , khẳng định nào sau đây là đúng?

Hàm số đồng biến trên các khoảng

(-\infty; 0)

và

\Big(\dfrac{3}{2}; +\infty\Big)

; nghịch biến trên khoảng

\Big(0; \dfrac{3}{2}\Big)

.

Hàm số đồng biến trên các khoảng

(-\infty; 0)

và

(1; +\infty)

; nghịch biến trên khoảng

(0; 1)

.

Hàm số đồng biến trên

\mathbb{R}

.

Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; 1)

; nghịch biến trên các khoảng

(-\infty; 0)

và

(1; +\infty)

.

Câu 2:

Hình 1.12

Với đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{(x^2 - 4)^2}$ , khẳng định nào sau đây là đúng?

A

Hàm số đồng biến trên các khoảng

(-2; 0)

và

(0; 2)

; nghịch biến trên các khoảng

(-\infty; -2)

và

(2; +\infty)

.

B

Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; +\infty)

; nghịch biến trên khoảng

(-\infty; 0)

.

C

Hàm số đồng biến trên các khoảng

(-2; 0)

và

(2; +\infty)

; nghịch biến trên các khoảng

(-\infty; -2)

và

(0; 2)

.

D

Hàm số đồng biến trên các khoảng

(-\infty; -2)

và

(0; 2)

; nghịch biến trên các khoảng

(-2; 0)

và

(2; +\infty)

.

Câu 2

1đ

Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau bằng cách kiểm tra tính đúng sai của các khẳng định tương ứng:

Câu 1:

Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x + 1$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Đạo hàm của hàm số là $y' = x^2 - 4x + 3$ .
b) $y' > 0$ với mọi $x$ .
c) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$ .
d) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$ .

Câu 2:

Cho hàm số $y = -x^3 + 2x^2 - 5x + 3$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$ .
b) Đạo hàm của hàm số là $y' = -3x^2 + 4x - 5$ .
c) Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
d) Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Câu 3

1đ

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau bằng cách xét tính đúng - sai của các khẳng định tương ứng.

Câu 1:

Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{x + 2}$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \backslash \{-2\}$ .
b) Đạo hàm của hàm số là $y' = \dfrac{3}{(x + 2)^2}$ .
c) Bảng biến thiên của hàm số là
d) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \backslash \{-2\}$ .

Câu 2:

Cho hàm số $y = \dfrac{x^2 + x + 4}{x - 3}$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Đạo hàm của hàm số là $y' = \dfrac{x^2 - 6x - 7}{(x - 3)}$ .
b) $y' = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 7$ .
c) Bảng biến thiên của hàm số là
d) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; 7) \backslash \{3\}$ .

Câu 4

1đ

Tự luận

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4 - x^2}$ .

b) $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ .

Câu 5

1đ

Giả sử số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $N(t) = \dfrac{25t + 10}{t + 5}, \, t \ge 0$ , trong đó $N(t)$ được tính bằng nghìn người.

Câu 1:

Số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015 lần lượt là bao nhiêu?

2

nghìn người và

19,25

nghìn người.

10

nghìn người và

25

nghìn người.

2

nghìn người và

25

nghìn người.

10

nghìn người và

19,25

nghìn người.

Câu 2:

Đạo hàm $N'(t)$ và $\displaystyle \lim\limits_{t \to +\infty} N(t)$ là bao nhiêu?

N'(t) = \dfrac{25}{(t + 5)^2}

;

\displaystyle \lim\limits_{t \to +\infty} N(t) =5

.

N'(t) = \dfrac{135}{(t + 5)^2}

;

\displaystyle \lim\limits_{t \to +\infty} N(t) =25

.

N'(t) = \dfrac{115}{t + 5}

;

\displaystyle \lim\limits_{t \to +\infty} N(t) =5

.

N'(t) = \dfrac{115}{(t + 5)^2}

;

\displaystyle \lim\limits_{t \to +\infty} N(t) =25

.

Câu 3:

Từ câu [2p] ta có nhận xét gì về xu hướng thay đổi của số dân thị trấn?

A

Số dân của thị trấn luôn giảm nhưng luôn giữ ở mức trên

25

nghìn người.

B

Số dân của thị trấn luôn tăng nhưng không vượt quá

25

nghìn người.

C

Số dân của thị trấn luôn giảm và không vượt quá

25

nghìn người.

D

Số dân của thị trấn luôn tăng và luôn trên mức

25

nghìn người.

Câu 6

1đ

Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f'(x)$ của hàm số $f(x)$ được cho trong Hình 1.13.

Hình 1.13

Câu 1:

Hàm số $f(x)$ đồng biến trên những khoảng nào sau đây?

(2; 4)

và

(6; +\infty)

.

(0; 3)

và

(5; +\infty)

.

(-\infty; 2)

và

(4; 6)

.

(3; 5)

.

Câu 2:

Tại giá trị nào của $x$ thì $f(x)$ đạt cực tiểu?

x = 2

và

x = 6

.

x = 3

.

x = 5

.

x = 4

.

Câu 3:

Tại giá trị nào của $x$ thì $f(x)$ đạt cực đại? Vì sao?

x = 3

, vì tại đó

f'(x)

luôn dương.

x = 4

, vì tại đó

f'(x)

đổi dấu từ dương sang âm

x = 5

, vì tại đó

f'(x)

luôn âm.

x = 4

, vì tại đó

f'(x)

đổi dấu từ âm sang dương.

Câu 7

1đ

Tìm cực trị của các hàm số sau bằng cách xét tính đúng - sai của các khẳng định tương ứng.

Câu 1:

Xét hàm số $y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 5$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Đạo hàm của hàm số là $y' = 6x^2 - 18x + 12$ .
b) Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x=1$ .
c) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và giá trị cực đại $y_{\mathrm{CĐ}} = 0$ .
d) Hàm số không có cực tiểu.

Câu 2:

Xét hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 2$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Đạo hàm của hàm số là $y' = 4x^3 - 8x$ .
b) Hàm số chỉ có một điểm cực trị.
c) Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và giá trị cực đại $y_{\mathrm{CĐ}} = 2$ .
d) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm \sqrt{2}$ và giá trị cực tiểu $y_{CT} = -2$ .

Câu 3:

Xét hàm số $y = \dfrac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Đạo hàm của hàm số là $y' = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{x - 1}$ .
b) Bảng biến thiên của hàm số là
c) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1 + \sqrt{2}$ .
d) Giá trị cực đại là $-2\sqrt{2}$ và giá trị cực tiểu là $2\sqrt{2}$ .

Câu 4:

Xét hàm số $y = \sqrt{4x - 2x^2}$ .

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Tập xác định của hàm số là $D = [0; 2]$ .
b) Đạo hàm của hàm số là $y' = \dfrac{2 - x}{\sqrt{4x - 2x^2}}$ .
c) Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua $x=1$ .
d) Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và giá trị cực đại $y_{\mathrm{CĐ}} = \sqrt{2}$ .

Câu 8

1đ

Tự luận

Cho hàm số $y = f(x) = |x|$ .

a) Tính các giới hạn $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^+} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = 1$ và $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0^-} \dfrac{f(x) - f(0)}{x - 0} = -1$ .

Từ đó suy ra hàm số $y = |x|$ không có đạo hàm tại điểm $x = 0$ .

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại điểm $x = 0$ .

Hình 1.4

Câu 9

1đ

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số $f(t) = \dfrac{5 \, 000}{1 + 5\mathrm{e}^{-t}}, \, t \ge 0$ , trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành khoảng bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Trả lời: năm.

Bài học liên quan

Phần 1

Báo lỗi

Tải đề xuống