Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60^\circ, \, \widehat{C}=45^\circ, \, AC=10.$

Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$;

b) $MA^2 + MB^2 - AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$ và $MA^2 + MC^2 - AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$;

c) $MA^2 = \dfrac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Xét tam giác $ABC$.

Áp dụng định lí côsin, ta có:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \Rightarrow \cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.$

⚡Nếu góc $A$ nhọn thì $\cos A$ <=>$0$ $\Rightarrow \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$=<> $0$

$\Rightarrow b^2+c^2-a^2$ =>< $0$ $\Rightarrow b^2+c^2$ >=< $a^2.$

⚡Nếu góc $A$ vuông thì $\cos A$ <>= $0 \Rightarrow \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ ><= $0$

$\Rightarrow b^2+c^2-a^2$ =<> $0$ $\Rightarrow b^2+c^2$ =<> $a^2.$

⚡Nếu góc $A$ tù thì $\cos A$ ><= $0$ $\Rightarrow \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ ><= $0$

$\Rightarrow b^2+c^2-a^2$><= $0$ $\Rightarrow b^2+c^2$ =<> $a^2.$

Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ $53$ km về hướng $N34^\circ E$. Sau đó, tàu $B$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn $30$ km/h về hướng đông, đồng thời tàu $A$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn $50$ km/h để gặp tàu $B$.