Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bạn trả lời từng câu cũng được mà :) làm được câu nào thì giúp mình nhé. Tks!
cau a , xet phuong trinh 1 la 8(x+y) =x^2 +2y^2 + 3xy
ta co , 8(x+y) = x^2 +2xy+y^2 +y^2+xy
8(x+y)= (x+y)^2+y(x+y)
(x+y)((x+y)+y-8)=0 xét (x+y)=0 và (x+2y-8)=0 . xét từng trường hợp rồi thế vào phương trình 2 rồi tự giải lột nhe
cau 2 de kho hieu the , viet lai xem nao sao 2 phong trinh ma bang mot bieu thuc thoi ak
Hệ phương trình đã cho là:
1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Để các căn thức có nghĩa, ta cần:
Vậy, ĐKXĐ là: $-1 \le x \le 1$.
2. Biến đổi phương trình (1)
Chuyển các số hạng chứa $\sqrt{1-x}$ về một vế và các số hạng còn lại về vế kia:
Nếu đặt $z = \sqrt{1-x}$, ta có $z \ge 0$ và $z^2 = 1-x$, hay $x = 1 - z^2$.
Thay $x$ vào biểu thức $1 - 2x$:
Thay lại vào phương trình (1) đã biến đổi:
Xét hàm số $f(t) = 2t^3 + t$. Ta có $f'(t) = 6t^2 + 1 > 0$ với mọi $t \in \mathbb{R}$.
$\implies f(t)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó, từ $f(y) = f(-z)$, suy ra $y = -z$.
Thay $z = \sqrt{1-x}$ trở lại, ta được mối liên hệ:
3. Thay thế vào phương trình (2)
Thay $(*)$ vào phương trình $(2)$:
Sử dụng công thức $\sqrt{1-x}\sqrt{1+x} = \sqrt{(1-x)(1+x)} = \sqrt{1-x^2}$ (do $-1 \le x \le 1$):
Lưu ý rằng $\sqrt{1-x} \ge 0$, và $y = -\sqrt{1-x} \le 0$, tức là $y$ không dương.
Xét vế trái của $(2)$: $2x^2 + 2xy\sqrt{1+x}$.
Từ $(*)$, ta có $y^2 = 1 - x$, hay $x = 1 - y^2$.
Thay $x = 1 - y^2$ vào $(2)$:
Đây là một phương trình rất phức tạp. Ta nên biến đổi phương trình $(2)$ một cách khác.
Quay lại phương trình:
Ta nhận thấy vế trái có dạng bình phương thiếu. Nhân 2 vế với 2:
Đây không phải là một hướng đi đơn giản. Ta nên thử phương pháp lượng giác do kết quả có dạng lượng giác.
4. Phương pháp lượng giác
Đặt $x = \cos t$, với $t \in [0, \pi]$ (vì $-1 \le x \le 1$).
Từ $(*)$, ta có $y = -\sqrt{1-x}$.
Vì $t \in [0, \pi] \implies \frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \left(\frac{t}{2}\right) \ge 0$.
Nên $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$.
Thay $x = \cos t$ và $y = -\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)$ vào phương trình $(2)$:
Sử dụng công thức: $\sqrt{1 + \cos t} = \sqrt{2\cos^2 \left(\frac{t}{2}\right)} = \sqrt{2}\cos \left(\frac{t}{2}\right)$ (vì $\frac{t}{2} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$).
$$\begin{aligned} 2\cos^2 t + 2\cos t \left(-\sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)\right) \left(\sqrt{2}\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right) &= 1 - \sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right) \\ 2\cos^2 t - 4\cos t \left(\sin \left(\frac{t}{2}\right)\cos \left(\frac{t}{2}\right)\right) &= 1 - \sqrt{2}\sin \left(\frac{t}{2}\right)\end{aligned}$$Sử dụng công thức $\sin t = 2\sin \left(\frac{t}{2}\right)\cos \left(\frac{t}{2}\right)$:
Sử dụng công thức $\cos(2t) = 2\cos^2 t - 1$, hay $2\cos^2 t = 1 + \cos(2t)$:
Sử dụng công thức $a\cos \alpha + b\sin \alpha = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\alpha - \phi)$:
Chia cả hai vế cho $\sqrt{2}$:
Sử dụng công thức $-\sin \alpha = \cos \left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)$:
Phương trình có hai trường hợp:
Trường hợp 1:
Do $t \in [0, \pi]$, ta thay $k = 0$: $t = \frac{\pi}{6}$ (nhận)
Nếu $k = 1$: $t = \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{9\pi}{6} > \pi$ (loại).
Với $t = \frac{\pi}{6}$:
Giá trị này không khớp với đáp án $\left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$. Trường hợp này bị loại.
Trường hợp 2:
Do $t \in [0, \pi]$, ta thử các giá trị $k$:
- $k = 0$: $t = -\frac{3\pi}{10}$ (loại)
- $k = 1$: $t = -\frac{3\pi}{10} + \frac{4\pi}{5} = \frac{-3\pi + 8\pi}{10} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ (nhận)
- $k = 2$: $t = -\frac{3\pi}{10} + \frac{8\pi}{5} = \frac{-3\pi + 16\pi}{10} = \frac{13\pi}{10} > \pi$ (loại)
Với $t = \frac{\pi}{2}$:
Kiểm tra nghiệm $(x; y) = (0; -1)$ vào hệ ban đầu:
Trường hợp này cũng bị loại.
5. Xem xét lại đáp án gợi ý
Đáp án gợi ý là: $(x; y) = \left(\cos \frac{3\pi}{10}; \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}\right)$.
Nếu đây là nghiệm, ta phải có $y = -\sqrt{1-x}$.
$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{1 - \cos \frac{3\pi}{10}}$
$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2\sin^2 \frac{3\pi}{20}}$
$\implies \sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = -\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20}$ (vì $\frac{3\pi}{20} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \implies \sin \frac{3\pi}{20} > 0$)
$\iff 2\sqrt{2}\sin \frac{3\pi}{20} = 0 \quad \text{(Vô lí vì } \sin...
Bài 1:
ĐKXĐ:.............
Phương trình hoành độ giao điểm của \((d)\cap (C)\):
\(2(x-m)-\frac{2x-m}{mx+1}=0\Leftrightarrow m(2x^2-2mx-1)=0\)
Nếu \(m=0\Rightarrow (d)\equiv C\) (vô lý) nên $m\neq 0$ . Do đó \(2x^2-2mx-1=0\). $(1)$
Hai điểm $A,B$ có hoành độ chính là nghiệm của phương trình $(1)$
Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=\frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(d(O,AB)=\frac{|-2m|}{\sqrt{5}}\); \(AB=\sqrt{(x_1-x_)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{5(m^2+2)}\)
\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{d(O,AB).AB}{2}=|m|\sqrt{m^2+2}\)
Mặt khác, dễ dàng tính được \(M(m,0),N(0,-2m)\) nên \(S_{OMN}=\frac{OM.ON}{2}=\frac{|m||-2m|}{2}=m^2\)
Ta có \(S_{OAB}=3S_{OMN}\Leftrightarrow |m|\sqrt{m^2+2}=3m^2\)
\(\Rightarrow m=\pm \frac{1}{2}(m\neq 0)\)
Bài 2:
Ta có \(A(1,0,1)\in (d_1);B(3,5,4)\in (d_2); \overrightarrow{u_{d_1}}=(-1,1,1);\overrightarrow{u_{d_2}}=(4,-2,1)\)
Dễ thấy \([\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]\overrightarrow{AB}\neq 0\) nên suy ra $(d_1)$ và $(d_2)$ chéo nhau
Gọi \(\overrightarrow{n_P}\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$
Khi đó \(\overrightarrow{n_P}=[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}]=(3,5,-2)\)
Vì $(P)$ đi qua $(d_1)$ nên $(P)$ đi qua $A$. Do đó PTMP là:
\(3(x-1)+5y-2(z-1)=0\Leftrightarrow 3x+5y-2z-1=0\)
bài 7
Thay x=3 và y=-1 ta có hệ
\(\hept{\begin{cases}6-a=b+4\\3a-b=8+9a\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2\\6a+b=-6\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=-\frac{8}{5}\\b=\frac{18}{5}\end{cases}}}\)
bài 8 cách làm tương tự nhé, ta thay x và y vào sẽ được hệ của a và b.