1.

A D C B E F H K I

gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D lên cạnh AF, CE

Dễ dàng chứng minh đc

S AFD=S CED=1/2 S ABCD

S AFD=1/2 AF.DH, S AFD=1/2.CE.DK ( VÌ CE = AF )

=> DH=DK

=> ĐPCM

Gọi O là trung điểm của BD

ΔBMD vuông tại M

mà MO là đường trung tuyến

nên \(OM=OD=OB=\frac{BD}{2}\) =MN

ΔBND vuông tại N

mà NO là đường trung tuyến

nên \(NO=OB=OD=\frac{BD}{2}\) =MN

Xét ΔOMN có OM=ON=MN

nên ΔOMN đều

=>\(\hat{MON}=60^0\)

Xét (O) có \(\hat{MBN}\) là góc nội tiếp chắn cung MN

=>\(\hat{MBN}=\frac12\cdot\hat{MON}=30^0\)

Xét tứ giác BMDN có \(\hat{BMD}+\hat{BND}+\hat{MBN}+\hat{MDN}=360^0\)

=>\(\hat{ADC}=360^0-90^0-90^0-30^0=150^0\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\hat{ADC}+\hat{BAD}=180^0\)

=>\(\hat{BAD}=180^0-150^0=30^0\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\hat{BAD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{BCD}=30^0\)

ABCD là hình bình hành

=>\(\hat{ABC}=\hat{ADC}\)

=>\(\hat{ADC}=150^0\)

-Gọi AC cắt BD tại O. Ta có MN=OB=OD(=1/2.BD).
-Ta có: tam giác BMD vuông tại M có O là trung điểm của BD nên MO=1/2.BD. 
tam giác BND vuông tại N có O là trung điểm của BD nên NO=1/2.BD.
Suy ra: MO=ON=MN=BO=OD. => tam giác MON đều => góc MON=60 độ. 
-Mà góc MOD=góc NOD=1/2. góc MON=30 độ và OM=OD => góc MDO=75 độ. => góc ADC=góc ABC=2.góc MDO= 150 độ. 
=> góc BAD=góc BCD= 30 độ.
Vậy góc A và góc C của hình thoi ABCD bằng 30 độ; góc B và góc D của hình thoi bằng 150 độ. 

Xét ΔPBD vuông tại P và ΔMDB vuông tại M có

DB chung

góc PBD=góc MDB

=>ΔPBD=ΔMDB

=>góc EBD=góc EDB

=>EB=ED

Xét tứ giá BEDF có

BE//DF

BF//DE

EB=ED

=>BEDF là hình thoi