Bài 1:

a: Xét ΔBAP có D,F lần lượt là trung điểm của BA,BP

=>DF là đường trung bình của ΔBAP

=>DF//AP và \(DF=\frac{AP}{2}\)

ΔAMP vuông tại M

mà ME là đường trung tuyến

nên \(ME=\frac{AP}{2}\)

=>DF=ME

b: Ta có: \(ME=\frac{AP}{2}\)

\(EP=\frac{PA}{2}\)

Do đó: EP=EM

=>ΔEMP cân tại E

=>\(\hat{PEM}=180^0-2\cdot\hat{EPM}=180^0-2\cdot\hat{APM}\) (1)

ΔPLB vuông tại L

mà LF là đường trung tuyến

nên LF=FP

=>ΔFPL cân tại F

=>\(\hat{PFL}=180^0-2\cdot\hat{FPL}=180^0-2\cdot\hat{LPB}\) (2)

Xét ΔPMA vuông tại M và ΔPLB vuông tại L có

\(\hat{PAM}=\hat{PBL}\)

Do đó: ΔPMA~ΔPLB

=>\(\hat{MPA}=\hat{LPB}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{PFL}=\hat{PEM}\)

Bài 3: Xét hình thang ABCD có M,N lần lượt là trung điểm của AD,BC

=>MN là đường trung bình của hình thang ABCD

=>MN//AB//CD và \(MN=\frac{AB+CD}{2}\)

Xét ΔDAB có M,P lần lượt là trung điểm của DA,DB

=>MP là đường trung bình của ΔDAB

=>MP//AB và \(MP=\frac{AB}{2}\)

Xét ΔCAB có N,Q lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>NQ là đường trung bình của ΔCAB

=>NQ//AB và \(NQ=\frac{AB}{2}\)

Ta có: MP//AB

MN//AB

mà MP,MN có điểm chung là M

nên M,N,P thẳng hàng(1)

Ta có: NQ//AB

NN//AB

mà NQ,MN có điểm chung là N

nên M,N,Q thẳng hàng(2)

Từ (1),(2) suy ra M,P,Q,N thẳng hàng

Ta có: MP+PQ+QN=MN

=>\(PQ+\frac{AB}{2}+\frac{AB}{2}=\frac{CD+AB}{2}\)

=>\(PQ=\frac{CD-AB}{2}\)

MP=PQ

=>\(\frac{CD-AB}{2}=\frac{AB}{2}\)

=>CD-AB=AB

=>CD=2AB

a , vẽ hình

xét \(\Delta BPH\) và \(\Delta CPK\) có

\(\widehat{BHP}=\widehat{CKP}=90^o\) 

\(\widehat{HBP}=\widehat{KCP}\) 

=> \(\Delta BPH\) đồng dạng với \(\Delta CPK\)

=> \(\frac{BP}{CP}=\frac{HP}{PH}\) 

hay \(BP.KP=CP.HP\left(đpcm\right)\)

Mày nhìn cái chóa j