Trong biểu thức

\(K = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{b c} + \frac{c^{2} + a^{2}}{c a} = \left(\right. \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \left.\right) + \left(\right. \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \left.\right) + \left(\right. \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \left.\right) ,\)

với \(0 < a , b , c \leq 2\) (vì nếu có bất kỳ \(a , b\) hay \(c = 0\) thì mẫu số bằng 0, không xác định), ta thấy mỗi tổng \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\).

• Tổng tiệm cận vô cực
  Nếu ta cho một trong ba biến, chẳng hạn \(a \rightarrow 0^{+}\), thì \(\frac{c}{a} \rightarrow + \infty\), nên
  \(K \textrm{ }\textrm{ } \geq \textrm{ }\textrm{ } \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \textrm{ }\textrm{ } \rightarrow \textrm{ }\textrm{ } + \infty .\)
  Do đó \(sup ⁡ K = + \infty\); nói cách khác, \(K\) không có giá trị lớn nhất hữu hạn trên miền đã cho.
• (Nếu quan tâm đến giá trị nhỏ nhất)
  Khi \(a = b = c\), ta có
  \(K = 3 \left(\right. \frac{a}{a} + \frac{a}{a} \left.\right) = 3 \cdot 2 = 6 ,\)
  và đó là giá trị nhỏ nhất của \(K\) (do từng nhị thức \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\) đạt đẳng thức khi \(x = y\)).

Kết luận:

\(\boxed{\text{Kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ị\&\text{nbsp};\text{l}ớ\text{n}\&\text{nbsp};\text{nh} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{h}ữ\text{u}\&\text{nbsp};\text{h}ạ\text{n}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; K \&\text{nbsp};\text{tr} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{mi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp}; 0 < a , b , c \leq 2.}\)

(với giới hạn sai phân bất kỳ biến về 0 thì \(K \rightarrow + \infty\)).

Vì biểu thức

\(K = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b} + \frac{b^{2} + c^{2}}{b c} + \frac{c^{2} + a^{2}}{c a} = \left(\right. \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \left.\right) + \left(\right. \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \left.\right) + \left(\right. \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \left.\right) ,\)

khi bất kỳ cặp \(\left(\right. x , y \left.\right)\) nào trong \(\left(\right. a , b \left.\right) , \left(\right. b , c \left.\right) , \left(\right. c , a \left.\right)\) ta có

\(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \textrm{ }\textrm{ } \rightarrow \textrm{ }\textrm{ } + \infty \text{khi} \textrm{ }\textrm{ } y \rightarrow 0^{+} ,\)

nên nếu cho \(a , b , c > 0\) và chỉ giới hạn bởi \(a , b , c \leq 2\) thì ta có thể để ví dụ \(b \rightarrow 0^{+}\) (vẫn thỏa \(b \leq 2\)) và \(a , c\) giữ cố định, làm cho một số hạng như \(\frac{a^{2} + b^{2}}{a b}\) chạy lên vô hạn.

Do đó \(K\) không có giá trị lớn nhất hữu hạn:

\(sup ⁡ K = + \infty .\)

(Nếu muốn tìm giá trị nhỏ nhất, dễ thấy với \(a = b = c\) ta có Kmin⁡=6K_{\min}=6, nhưng giá trị lớn nhất không tồn tại.)