\(\Leftrightarrow y'=0\) 

có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1\)<\(x_2\)<1

\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{4}\)<m<\(\frac{7}{5}\)

Ta có \(y'=3x^2-3\left(m-2\right)x-3\left(m-1\right)\), với mọi \(x\in R\)

\(y'=0\Leftrightarrow x^2-\left(m-2\right)x-m+1=0\Leftrightarrow x_1=-1;x_2=m-1\)

Chú ý rằng với m > 0 thì \(x_1< x_2\). Khi đó hàm số đạt cực đại tại \(x_1=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x_2=m-1\). Do đó :

\(y_{CD}=y\left(-1\right)=\frac{3m}{2};y_{CT}=y\left(m-1\right)=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\)

Từ giả thiết ta có \(2.\frac{3m}{2}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\Leftrightarrow6m-6-\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2=0\)

                                                                              \(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2+m-8\right)=0\Leftrightarrow m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)

Đối chiếu yêu cầu m > 0, ta có giá trị cần tìm là \(m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m<2. Tọa độ các điểm cực trị là :

\(A\left(0;m^2-5m+5\right);B\left(\sqrt{2-m};1-m\right);C\left(-\sqrt{2-m};1-m\right)\)

Ta có : \(y'=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)\)

Để hàm số có cực trị thì phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt

                                                             \(\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-1=0\) có 2 nghiệm phân biệt

                                                             \(\Leftrightarrow\Delta=1>0\) với mọi m

Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là B (m+1; -2-2m)

Theo giả thiết ta có :

                         \(OA=\sqrt{2}OB\Leftrightarrow m^2+6m+1\Leftrightarrow\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}\)

Vậy có 2 giá trị m là \(\begin{cases}m=-3+2\sqrt{2}\\m=-3-2\sqrt{2}\end{cases}\)

xA, xB lấy đâu vậy ạ?

Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)

Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

                           \(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)

Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)

=> Các điểm cực trị là :

\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :

\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)

A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Do \(f'\left(x\right)=x^2-2mx-1=0\)

Có \(\Delta'=m^2+1>0\) nên\(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số đạt cực trị tại  \(x_1,x_2\)  với các điểm \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\)

Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :

\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-m\right)f'\left(x\right)-\frac{2}{3}\left(m^1+1\right)x+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)

Do \(f'\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=0\) nên

\(y_1=f\left(x_1\right)=-\frac{2}{3}\left(m^1+1\right)x_1+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)

\(y_2=f\left(x_2\right)=-\frac{2}{3}\left(m^2+1\right)x_2+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)

Ta có \(AB^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\left(x_2-x_1\right)^2\)

                  \(=\left[\left(x_2-x_1\right)^2-4x_2x_1\right]\left[1+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\right]\)

                  \(=\left(4m^2+4\right)\left[1+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\right]\ge4\left(1+\frac{4}{9}\right)\)

\(\Rightarrow AB\ge\frac{2\sqrt{13}}{3}\)

Vậy Min \(AB=\frac{2\sqrt{13}}{3}\) xảy ra <=> m=0

Ta có : \(y'=4x^3+12mx^2+6\left(m+1\right)x=2x\left(2x^2+6mx+3\left(m+1\right)\right)\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc 

               \(\Leftrightarrow f\left(x\right)=2x^2+6mx+3m+3=0\)

a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi \(f\left(x\right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=3\left(3m^2-2m-2\right)>0\\f\left(0\right)\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m< \frac{1-\sqrt{7}}{3}\cup m>\frac{1+\sqrt{7}}{3}\\m\ne-1\end{cases}\)

b) Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 

\(\Leftrightarrow\) hàm số không có 3 cực trị \(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{7}}{3}\le m\le\frac{1+\sqrt{7}}{3}\)

câu b m= -1 hàm số có 1 cực tiểu duy nhất

\(f'\left(x\right)=6\left(x^2+\left(m-1\right)x+m\left(1-2m\right)\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow g\left(x\right)=x^2+\left(m-1\right)x+m\left(1-2m\right)=0\)

Hàm số có cực đại, cực tiểu <=> \(f'\left(x\right)=0\) hay \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt                                          \(\Leftrightarrow\Delta_g=\left(m-1\right)^2-4m\left(1-2m\right)=\left(3m-1\right)^2>0\Leftrightarrow m\ne\frac{1}{3}\)

Ta có \(f\left(x\right)=g\left(x\right)\left[2x+\left(m+1\right)\right]-\left(3m-1\right)^2x+m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)\)

Với \(m\ne\frac{1}{3}\) thì \(g\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) và hàm số đạt cực trị tại  \(x_1;x_2\)  

do \(\begin{cases}g\left(x_1\right)=0\\g\left(x_2\right)=0\end{cases}\) suy ra đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là 

\(\Delta:y=-\left(3m-1\right)^2x+m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)\)

Ta có cực địa, cực tiểu nằm trên đường thẳng \(y=-4x\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\left(3m-1\right)^2=-4\\m\left(m-1\right)\left(1-2m\right)=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left|3m-1\right|=2\\m\in\left\{0;1;\frac{1}{2}\right\}\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=1\)