Olm chào em. Đây là toán nâng cao chuyên đề số nguyên, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp phản chứng như sau:

Giải:

Giả sử khẳng định trên là đúng khi đó ta có:

Vì 3 là số nguyên lớn hơn 2 nên 3 sẽ là tổng của 3 số nguyên tố.

Các số nguyên tố nhỏ hơn 3 là: 2

Chỉ có một số nguyên tố nhỏ hơn 3 nên 3 không thể là tồng của 3 số nguyên tố dẫn đến điều giả sử là sai.

Vậy Tất cả các số nguyên lớn hơn 2 đều là các số có tổng bằng 3 số nguyên tố là khẳng định sai.

Đây là một phát biểu thú vị và là một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong lý thuyết số, được gọi là Giả thuyết Goldbach. Tuy nhiên, phát biểu mà bạn nêu ra hơi khác một chút so với giả thuyết gốc.

🧐 Chi tiết về Giả thuyết Goldbach

Giả thuyết Goldbach có hai dạng chính:

1. Giả thuyết Goldbach mạnh (Strong Goldbach Conjecture)

• Phát biểu: Mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố.
• • Ví dụ: $4 = 2 + 2$; $10 = 3 + 7 = 5 + 5$; $100 = 3 + 97 = 11 + 89$.
• Trạng thái: Đây là một trong những bài toán chưa được giải quyết của toán học. Nó đã được kiểm chứng bằng máy tính cho các số rất lớn (lên đến $4 \times 10^{18}$), nhưng vẫn chưa có bằng chứng toán học chung nào cho mọi số chẵn.

2. Giả thuyết Goldbach yếu (Weak Goldbach Conjecture)

• Phát biểu: Mọi số nguyên lẻ lớn hơn 5 đều là tổng của ba số nguyên tố.
• • Ví dụ: $7 = 3 + 2 + 2$; $13 = 3 + 5 + 5$; $35 = 19 + 13 + 3$. (Các ví dụ của bạn, 35 và 77, là số lẻ).

💡 Trạng thái của Phát biểu của Bạn

Phát biểu của bạn là: "Tất cả các số nguyên lớn hơn 2 đều là tổng của 3 số nguyên tố".

Phát biểu này tương đương với việc gộp cả hai trường hợp:

1. Số lẻ lớn hơn 2: (Giả thuyết Goldbach yếu)
2. • Mọi số lẻ $n > 5$ là tổng của 3 số nguyên tố.
   • Các số lẻ $3 = 1+1+1$ (sai vì 1 không là số nguyên tố) và $5 = 2+3+0$ (sai vì 0 không là số nguyên tố). Với 3 và 5, ta có thể viết $3 = 3 + 0 + 0$ và $5 = 3 + 2 + 0$.
   • Nếu ta chỉ xét các số nguyên tố, Goldbach yếu đã được chứng minh bởi nhà toán học Peru Harald Helfgott vào năm 2013.
3. Số chẵn lớn hơn 2:
4. • Số chẵn $n$ là tổng của 3 số nguyên tố.
   • Nếu $n$ là số chẵn, thì $n-3$ là số lẻ.
   • Theo Giả thuyết Goldbach yếu đã được chứng minh, mọi số lẻ $n-3$ lớn hơn 5 đều là tổng của 3 số nguyên tố ($n-3 = p_1 + p_2 + p_3$).
   • Do đó, $n = (p_1 + p_2 + p_3) + 3$. Đây là tổng của 4 số nguyên tố ($p_1, p_2, p_3$ và $3$), chứ không phải tổng của 3 số nguyên tố.
   • Tuy nhiên, nếu Giả thuyết Goldbach mạnh là đúng (mọi số chẵn lớn hơn 2 là tổng của hai số nguyên tố $n = p_a + p_b$), thì số chẵn $n$ cũng có thể được viết là tổng của ba số nguyên tố bằng cách thêm số 2: $n+2 = p_a + p_b + 2$.

Kết luận:

Phát biểu của bạn ("Tất cả các số nguyên lớn hơn 2 đều là tổng của 3 số nguyên tố") là chưa được chứng minh nếu xét cả số chẵn, nhưng đã được chứng minh đối với các số nguyên lẻ lớn hơn 5 (dạng Giả thuyết Goldbach yếu).