Ta có phương trình dao động điều hòa của vật:

\(x = 8 cos ⁡ \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right)\)

Trong đó:

• \(x\) là vị trí của vật (đơn vị cm),
• \(t\) là thời gian (đơn vị s),
• \(8\) là biên độ dao động (đơn vị cm),
• \(5 \pi\) là tần số góc (rad/s),
• \(\frac{\pi}{3}\) là pha ban đầu.

Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng câu hỏi.

a. Xác định trạng thái đầu

Trạng thái đầu của vật là trạng thái tại thời điểm \(t = 0\).

Thay \(t = 0\) vào phương trình dao động:

\(x \left(\right. 0 \left.\right) = 8 cos ⁡ \left(\right. 5 \pi \times 0 + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 8 cos ⁡ \left(\right. \frac{\pi}{3} \left.\right)\)

Biết rằng \(cos ⁡ \left(\right. \frac{\pi}{3} \left.\right) = \frac{1}{2}\), ta có:

\(x \left(\right. 0 \left.\right) = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \textrm{ } \text{cm}\)

Vậy, trạng thái đầu của vật là \(x = 4 \textrm{ } \text{cm}\).

b. Xác định thời điểm lần đầu vật đạt vị trí biên dương

Vị trí biên dương là giá trị cực đại của \(x\), tức là khi \(x = 8 \textrm{ } \text{cm}\) (biên độ dao động).

Ta cần tìm thời điểm \(t\) sao cho:

\(8 cos ⁡ \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 8\)

Chia hai vế cho 8:

\(cos ⁡ \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 1\)

Giải phương trình:

\(5 \pi t + \frac{\pi}{3} = 2 k \pi \text{v}ớ\text{i} \textrm{ } k \in \mathbb{Z}\)

Giải phương trình trên:

\(5 \pi t = 2 k \pi - \frac{\pi}{3}\)

Chia cả hai vế cho \(5 \pi\):

\(t = \frac{2 k \pi - \frac{\pi}{3}}{5 \pi} = \frac{2 k - \frac{1}{3}}{5}\)

Khi \(k = 0\), ta có:

\(t = \frac{- \frac{1}{3}}{5} = - \frac{1}{15} \textrm{ } \text{s}\)

Vì thời gian phải dương, ta chọn \(k = 1\):

\(t = \frac{2 - \frac{1}{3}}{5} = \frac{\frac{5}{3}}{5} = \frac{1}{3} \textrm{ } \text{s}\)

Vậy, thời điểm lần đầu vật đạt vị trí biên dương là \(t = \frac{1}{3} \textrm{ } \text{s}\).

c. Xác định thời điểm lần đầu vật qua vị trí cân bằng

Vị trí cân bằng là \(x = 0\), tức là khi \(cos ⁡ \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 0\).

Ta giải phương trình:

\(cos ⁡ \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right) = 0\)

Điều này xảy ra khi:

\(5 \pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k \pi \text{v}ớ\text{i} \textrm{ } k \in \mathbb{Z}\)

Giải phương trình:

\(5 \pi t = \frac{\pi}{2} + k \pi - \frac{\pi}{3}\)

Tính toán:

\(5 \pi t = \frac{\pi}{6} + k \pi\)

Chia cả hai vế cho \(5 \pi\):

\(t = \frac{\frac{\pi}{6} + k \pi}{5 \pi} = \frac{1}{30} + \frac{k}{5}\)

Khi \(k = 0\), ta có:

\(t = \frac{1}{30} \textrm{ } \text{s}\)

Vậy, thời điểm lần đầu vật qua vị trí cân bằng là \(t = \frac{1}{30} \textrm{ } \text{s}\).

d. Xác định thời điểm lần thứ 5 vật qua vị trí \(x = - 4 \textrm{ } \text{cm}\), với \(v > 0\)

Vị trí \(x = - 4 \textrm{ } \text{cm}\) ứng với phương trình:

\(- 4 = 8 cos ⁡ \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right)\)

Chia hai vế cho 8:

\(- \frac{1}{2} = cos ⁡ \left(\right. 5 \pi t + \frac{\pi}{3} \left.\right)\)

Giải phương trình:

\(5 \pi t + \frac{\pi}{3} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2 k \pi \text{v}ớ\text{i} \textrm{ } k \in \mathbb{Z}\)

Tính toán:

\(5 \pi t + \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3} + 2 k \pi\)\(5 \pi t = \frac{2 \pi}{3} + 2 k \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2 k \pi\)

Chia cả hai vế cho \(5 \pi\):

\(t = \frac{\frac{\pi}{3} + 2 k \pi}{5 \pi} = \frac{1}{15} + \frac{2 k}{5}\)

Vậy:

\(t_{1} = \frac{1}{15} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 0 \left.\right)\)\(t_{2} = \frac{7}{15} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 1 \left.\right)\)\(t_{3} = \frac{13}{15} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 2 \left.\right)\)\(t_{4} = \frac{19}{15} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 3 \left.\right)\)\(t_{5} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3} \textrm{ } \text{s} \left(\right. k = 4 \left.\right)\)

Vậy, thời điểm lần thứ 5 vật qua vị trí \(x = - 4 \textrm{ } \text{cm}\) với \(v > 0\) là \(t = \frac{5}{3} \textrm{ } \text{s}\).

Tóm tắt:

• a. Trạng thái đầu: \(x = 4 \textrm{ } \text{cm}\)
• b. Thời điểm lần đầu vật đạt vị trí biên dương: \(t = \frac{1}{3} \textrm{ } \text{s}\)
• c. Thời điểm lần đầu vật qua vị trí cân bằng: \(t = \frac{1}{30} \textrm{ } \text{s}\)
• d. Thời điểm lần thứ 5 vật qua vị trí \(x = - 4 \textrm{ } \text{cm}\) với \(v > 0\): \(t = \frac{5}{3} \textrm{ } \text{s}\)

Tham khảo

b

B

Một ống dây hình trụ gồm N = 1000 vòng dây , diện tích mỗi vòng dây S = 100 cm2 . Ống dây có R = 16 , hai đầu nối đoản mạch và được đặt trong từ trường đều : vec tơ cảm ứng từ song song vơi trục của hình trụ và độ lớn tăng đều 0,04 T / s . Tính công suất tỏa nhiệt trong ống dây .

A. 0,01 W

B. 0,1 W

C. 1 W

D. 2 W