Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P) là: 

\(x^2=-\left(m+2\right)x-m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2+\left(m+2\right)x+m+1=0\)(1) 

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiêm phân biệt. Khi đó: 

\(\Delta>0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-4\left(m+1\right)=m^2>0\Leftrightarrow m\ne0\)

Với \(m\ne0\)phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2;x_1>x_2\).

Theo định lí Viete: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-m-2\\x_1x_2=m+1\end{cases}}\)

Do hai điểm nằm khác phía với trục tung nên \(x_1,x_2\)trái dấu nên \(m+1< 0\Leftrightarrow m< -1\).

\(\sqrt{y_1}+\sqrt{y_2}=\sqrt{x_1^2}+\sqrt{x_2^2}=\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=x_1-x_2=2\)(do hai điểm nằm khác phía với trục tung) 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-m-2\\x_1-x_2=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-m}{2}\\x_2=\frac{-m-4}{2}\end{cases}}\)

\(x_1x_2=-\frac{m}{2}\left(\frac{-m-4}{2}\right)=\frac{m\left(m+4\right)}{4}=m+1\Leftrightarrow m=\pm2\).

Vậy \(m=-2\).

a,

\(m\ne0\)

b,

\(d_1\) đi qua \(A\left(1;2\right)\Rightarrow2m+m-1=2\Leftrightarrow3m=3\Leftrightarrow m=1\)

c,

\(d_1\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(-2\Rightarrow d_1\) đi qua điểm \(\left(0;-2\right)\Rightarrow-2=m-1\Leftrightarrow m=-1\)

d,

\(d_1\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(-1\Rightarrow d_1\) đi qua điểm \(\left(-1;0\right)\Rightarrow0=-2m+m-1\Leftrightarrow-m=1\Leftrightarrow m=-1\)

e,

\(d_1\) cắt \(\Delta:y=x+1\) tại điểm thuộc trục tung \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m\ne1\\m-1=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\dfrac{1}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=2\)

f,

a. k = 0

b. k = 1 -\(\sqrt{2}\)

c . k = \(\sqrt{3}\)

tat qua b a

a) lần lượt cho x=-1, y=2 vào đường thẳng y=(m-2)x+n

ta có 2=-(m-2)+n

tương tự như vậy cho x=3, y=-4 ta có đường thẳng -4=(m-2)*3+n

sau đó cho 2 đường thẳng tương đương

suy ra m=0,5=1/2;

suy ra n=0,5=1/2

vậy m=0,5, n=0,5 thì (d) đi qua 2 điểm A(-1;2) và B(3;-4)

d) vì hai đương thẳng trùng nhau nên có a=a' , b=b'

mà a=m-2, b=n

     a'=2    , b'=-3

suy ra m=4,  n=-3

vậy m=4, n=-3 thì hai đường thẳng trùng nhau

c) vì hai đương thẳng cắt nhau có a#a', b=b'

mà a=m-2, b=n

a'=-1,5,  b'=0,5

nên m-2 # -1,5

n=0,5

suy ra m # 0,5

n=0,5

vậy m # 0,5, n=0,5 thì hai đương thẳng cắt nhau

a: Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+3+n=-3\\-2m-6+n=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+n=-9\\-2m+n=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-6\\n=-3\end{matrix}\right.\)

c: 3y-x-4=0

=>3y=x+4

\(\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{3}\)

Để hai đường cắt nhau thì m+3<>1/3

hay m<>-8/3