2 : cho $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\left(a,b,c,d\ne 0\right)$ và đôi 1 khác nhau, khác đôi nhau

Chứng minh :

a) C1: Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=kb\\c=kd\end{matrix}\right.\)

\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{kb-b}{kb+b}=\frac{b\left(k-1\right)}{b\left(k+1\right)}=\frac{k-1}{k+1}\)

\(\frac{c-d}{c+d}=\frac{kd-d}{kd+d}=\frac{d\left(k-1\right)}{d\left(k+1\right)}\frac{k-1}{k+1}\)

Bài 1: 

a: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{z}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{x-y}{2-\dfrac{3}{2}}=\dfrac{15}{\dfrac{1}{2}}=30\)

Do đó: x=60; y=45; z=40

b: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{10}=\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{21}=\dfrac{x+y+z}{10+15+21}=\dfrac{92}{46}=2\)

Do đó: x=20; y=30; z=42

Giả sử 3 cạnh của tam giác ABC theo thứ tự a, b, c. Không giảm tính tổng quát, ta giả sử 0 < a \(\le b\le c\), nếu chúng tạo thành cấp số nhân thì, theo tính chất của cấp số nhân ta có : \(b^2=ac\)

Theo định lí hàm số côsin, ta có :

\(b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Rightarrow ac=a^2+c^2-2ac.\cos B\)

                                     \(\Leftrightarrow\cos B=\frac{a^2+c^2}{2ac}-\frac{1}{2}\)

Mặt khác \(a^2+c^2\ge2ac\Rightarrow\cos B\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy góc \(B\le60^0\)

Nhưng \(a\le b\Rightarrow A\le60^0\) cho nên tam giác ABC có 2 góc không quá \(60^0\)

Xét dãy số (a_n), ta có a₁ = 4.

Giả sử hình vuông cạnh C_n có độ dài cạnh là a_n. Ta sẽ tính cạnh a_n+1 của hình vuông C_n+1. Theo hình 9, áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

a_n+1 = với n ε N^*.

Vậy dãy số (a_n) là cấp số nhân với số hạng đầu là a₁ = 4 và công bội q =

4687jf$^

a) Lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)

1. Tập xác định:

Hàm số xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\) thì hàm hoàn toàn xác định.

2. Đạo hàm:

Ta cần xét đạo hàm để lập bảng biến thiên:

\(f \left(\right. x \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) \Rightarrow f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 2 \cdot \frac{d}{d x} \left[\right. sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) \left]\right. = 2 \cdot 2 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = 4 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\)

3. Xét dấu của đạo hàm trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\):

• \(f^{'} \left(\right. x \left.\right) = 4 cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\)
• Ta xét dấu của \(cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\) trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)

Bảng xét dấu của \(cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\):

Biến đổi đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\) thành:

• Khi \(x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = - \pi \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. - \pi \left.\right) = - 1\)
• Khi \(x = 0 \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. 0 \left.\right) = 1\)
• Khi \(x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x = \pi \Rightarrow cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right) = cos ⁡ \left(\right. \pi \left.\right) = - 1\)

➡ \(cos ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\) dương trên khoảng \(\left(\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left.\right)\), âm ở hai bên.

Kết luận về tính đơn điệu của hàm số:

• Hàm giảm trên \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , - \frac{\pi}{4} \left]\right.\)
• Hàm tăng trên \(\left[\right. - \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{4} \left]\right.\)
• Hàm giảm trên \(\left[\right. \frac{\pi}{4} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)

4. Tính giá trị tại các điểm đặc biệt:

• \(f \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. - \pi \left.\right) = 0\)
• \(f \left(\right. - \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. - \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. - 1 \left.\right) = - 2\)
• \(f \left(\right. 0 \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. 0 \left.\right) = 0\)
• \(f \left(\right. \frac{\pi}{4} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 \left(\right. 1 \left.\right) = 2\)
• \(f \left(\right. \frac{\pi}{2} \left.\right) = 2 sin ⁡ \left(\right. \pi \left.\right) = 0\)

b) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2 sin ⁡ \left(\right. 2 x \left.\right)\) trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\)

1. Một số điểm đặc biệt trên đồ thị:

• \(x = - \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0\)
• \(x = - \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = - 2\)
• \(x = 0 \Rightarrow y = 0\)
• \(x = \frac{\pi}{4} \Rightarrow y = 2\)
• \(x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow y = 0\)

2. Đặc điểm của đồ thị:

• Dạng sóng hình sin, nhưng bị nén theo trục hoành (vì có hệ số 2 trong sin(2x))
• Biên độ: 2
• Chu kỳ: \(T = \frac{2 \pi}{2} = \pi\)
• Trên đoạn \(\left[\right. - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \left]\right.\), ta thấy đúng nửa chu kỳ

👉 Cách vẽ đồ thị (gợi ý):

1. Vẽ trục tọa độ \(O x y\)
2. Đánh dấu các điểm:
3. • \(\left(\right. - \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)\)
   • \(\left(\right. - \frac{\pi}{4} , - 2 \left.\right)\)
   • \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
   • \(\left(\right. \frac{\pi}{4} , 2 \left.\right)\)
   • \(\left(\right. \frac{\pi}{2} , 0 \left.\right)\)
4. Nối các điểm bằng đường cong mềm mại (dạng sóng sin)
5. Chú thích các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (2 và -2), các điểm uốn tại \(x = 0\)