Có \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-m+2\)

            \(=m^2-4m+4-m+2\)

            \(=m^2-5m+6\)

Để pt có nghiệm kép thì \(\Delta'=0\)

                              \(\Leftrightarrow m^2-5m+6=0\)

                              \(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m-3\right)=0\)

                            \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=2\\m=3\end{cases}}\)

Với \(m\in\left\{2;3\right\}\)thì \(\Delta'=0\)

Pt có nghiệm \(x=-\frac{b'}{a}=m-2\)

Với m = 2 thì x = 0

Với m = 3 thì x = 1

Để phương trình có nghiệm kép thì:

 \(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4-m-2=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-5m+2=0\)

Giải tiếp t cái pt

\(\Delta=\left(4m-1\right)^2-4\left(3m^2-2m\right)=4m^2+1\)

Vì \(4m^2\ge0\Rightarrow\Delta>0\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) với \(\forall m\)

Theo Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=4m-1\\x_1.x_2=3m^2-2m\end{matrix}\right.\)

Theo bài ra: \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=7\)

Kết hợp Vi-ét: \(\left(4m-1\right)^2-2\left(3m^2-2m\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow10m^2-4m-6=0\)\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(tm\right)\\m=-\frac{3}{5}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

a, Để pt có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

Hay: \(\left(-3\right)^2-4\left(m-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow9-4m+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow-4m\ge-13\)

\(\Leftrightarrow m\le\frac{13}{4}\)

b, Với \(m\le\frac{13}{4}\), theo Vi-ét, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=3\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)

Ta có: \(x_1^2-x_2^2=15\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=15\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=15\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt{3^2-4\left(m-1\right)}=15\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{9-4m+4}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{13-4m}=5\)

\(\Leftrightarrow13-4m=25\)

\(\Leftrightarrow4m=-12\)

\(\Leftrightarrow m=-3\left(tm\right)\) 

=.= hk tốt!!

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=7\\ab=12\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) theo Viet đảo, a và b là nghiệm của:

\(x^2-7x+12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(3;4\right);\left(4;3\right)\)

b/ \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m+4=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}>0\)

Phương trình luôn có 2 nghiệm pb

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m+1\right)\\x_1x_2=m-4\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2+3x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2+x_1x_2=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2+m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+9m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-\frac{9}{4}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Đặt \(x^2=t(t\geq 0)\) thì pt ban đầu trở thành:

\(t^2-2(m+1)t+2m+1=0(*)\)

Để pt ban đầu chỉ có 2 nghiệm phân biệt thì $(*)$ chỉ có một nghiệm dương.

-------

Xét \(\Delta'_{*}=(m+1)^2-(2m+1)=m^2\)

Theo công thức nghiệm của pt bậc 2 suy ra \((*)\) luôn có nghiệm:

\(t_1=1; t_2=2m+1\)

Vậy $(*)$ có một nghiệm dương khi mà:

\(\left[\begin{matrix} 2m+1=1\\ 2m+1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=0\\ m< \frac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=0\) hoặc \(m< \frac{-1}{2}\)