Bài 4:

a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1

b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)

Bài 5:

\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

Bài 6:

Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)

Bài 4:

a:ĐKXĐ: x>=0; x<>1

b: \(A=\frac{x+1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}+\sqrt{x}=\sqrt{x}-1+\sqrt{x}=2\sqrt{x}-1\)

Bài 5:

\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)+4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}:\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}\)

\(=\frac{x+16}{x-16}\cdot\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}\)

Bài 6:

Ta có: \(\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)

\(=\frac{3\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)-3a+a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{3a-3\sqrt{ab}-2a+\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(a+\sqrt{ab}+b\right)}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a+\sqrt{ab}+b}\)

Bài 3:

a: ĐKXĐ: a>0; b>0; a<>b

b: \(A=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a+2\sqrt{ab}+b-4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt{a}-\sqrt{b}\)

\(=\sqrt{a}-\sqrt{b}-\sqrt{a}-\sqrt{b}=-2\sqrt{b}\)

a, Ta có tam giác \(A B C\) nhọn, kẻ:

• \(B D \bot A B\)
• \(C D \bot A C\)

=> Các góc tại \(B\) và \(C\) đều là góc vuông.

Ta xét tứ giác \(A B D C\):

• \(\angle A B D = 90^{\circ}\) (do \(B D \bot A B\))
• \(\angle A C D = 90^{\circ}\) (do \(C D \bot A C\))

Suy ra:

\(\angle A B D + \angle A C D = 180^{\circ}\)

Mà tổng góc trong tứ giác bằng \(360^{\circ}\), nên:

\(\angle B A D + \angle B C D + 180^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow \angle B A D + \angle B C D = 180^{\circ}\)

Mà \(\angle B A D\) chính là góc tại \(A\) của tam giác \(A B C\), ký hiệu là \(\angle A\),
\(\angle B C D\) chính là góc tại \(D\) trong tứ giác (ký hiệu là \(\angle D\)).

⇒ \(\Rightarrow \angle D + \angle A = 180^{\circ}\)

b, * Chứng minh \(Q J = B D\)

Vì \(I\) là trung điểm của \(P Q\) và \(B J\), nên:

• \(I P = I Q\) (trung điểm \(P Q\))
• \(I B = I J\) (trung điểm \(B J\))

Xét hai tam giác \(I P B\) và \(I Q J\):

• \(I P = I Q\) (gt)
• \(I B = I J\) (gt)
• \(\angle P I B = \angle Q I J\) (đối đỉnh)

⇒ Tam giác \(I P B\) ≅ tam giác \(Q I J\) (cạnh – cạnh – góc xen giữa)

Suy ra:

\(P B = Q J\)

Nhưng \(P B = A B - A P = A B - \left(\right. A B - B P \left.\right) = B P\), mà \(B P = B D\) (gt)

⇒ \(Q J = P B = B P = B D \Rightarrow \boxed{Q J = B D}\)

*Chứng minh \(\angle A Q J + \angle D = 180^{\circ}\)

Ta đã biết ở phần a): \(\angle A + \angle D = 180^{\circ} .\)

Ta sẽ chứng minh \(\angle A Q J = \angle A\)

Xét hai tam giác:

• Tam giác \(A B P\): có \(B P = B D\) (gt)
• Tam giác \(A C Q\): có \(C Q = C D\) (gt)

Do \(B D \bot A B\), \(C D \bot A C\) ⇒ \(B D\) là đường cao tam giác \(A B C\), tương tự \(C D\) cũng là đường cao.

Suy ra tam giác \(A B P\) vuông tại \(B\), tam giác \(A C Q\) vuông tại \(C\). Hai điểm \(P , Q\) được lấy đối xứng vai trò như nhau theo hai cạnh của tam giác \(A B C\).

Lại có \(Q J = B D = B P\) (ở trên vừa chứng minh), do đó tam giác \(A Q J\) đồng dạng với tam giác \(A B C\) ⇒

\(\angle A Q J = \angle A .\)

Vậy:

\(\angle A Q J + \angle D = \angle A + \angle D = 180^{\circ} . \textrm{ }\textrm{ } \textrm{ } (đ\text{pcm})\)

a: Diện tích ban đầu là \(8\cdot20=160\left(m^2\right)\)

Độ dài cạnh góc vuông thứ nhất của phần bị thu hồi là

20-2x(m)

Độ dài cạnh góc vuông thứ hai của phần bị thu hồi là:

8-x(m)

Diện tích phần bị thu hồi là:

\(T=\frac12\left(20-2x\right)\left(8-x\right)=\frac12\left(2x-20\right)\left(x-8\right)=\left(x-10\right)\left(x-8\right)\left(m^2\right)\)

b: Diện tích đất bị thu hồi là 455:13=35(m)

=>(x-10)(x-8)=35

=>\(x^2-18x+80-35=0\)

=>\(x^2-18x+45=0\)

=>(x-3)(x-15)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-3=0\\ x-15=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=3\left(nhận\right)\\ x=15\left(loại\right)\end{array}\right.\)

Vậy: x=3

bài 4: gọi x; y (km/h) lần lượt là vận tốc ban đầu của xe đi từ A và xe đi từ B (x, y >0)

*trường hợp 1:

Quãng đường xe đi từ A đến lúc gặp: 7,5x (km)

quãng đường xe đi từ B đến lúc gặp: 7,5y(km)

vì 2 xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 7g30p nên ta có:

\(\left(x+Y\right)\cdot7,5=525\Rightarrow x+y=70\left(1\right)\)

*trường hợp 2

Vận tốc của xe A khi tăng gấp đôi ngay từ đầu là: 2x (km/h)

Quãng đường xe đi từ A đến lúc gặp: \(2x\cdot5,25\left(\operatorname{km}\right)\)

quãng đường xe đi từ B đến lúc gặp: 5,25y (km)

vì 2 xe gặp nhau sau 5 giờ 15 phút nên ta có:

\(\left(2x+y\right)\cdot5,25=525\Rightarrow2x+y=100\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x+y=70\\ 2x+y=100\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=30\\ y=40\end{cases}\left(TM\right)\)

vậy vận tốc ban đầu của xe đi từ A và xe đi từ B lần lượt là 30km/h và 40km/h

bài 5: gọi x, y, z (m vuông) lần lượt là diện tích lô 1, lô 2 và lô 3 (x,y,z > 0)

lô 1 gấp 3/2 lần tổng diện tích 2 lô còn lại nên:

\(x=\frac32\cdot\left(y+z\right)\)

lô 3 lớn hơn lô 2 200m² nên ta có:

\(y+200=z\)

mà khu đất đó có diện tích là 2000m² nên:

\(\frac32\cdot\left(y+z\right)+y+z=2000\)

\(\Rightarrow\frac52\cdot\left(y+z\right)=2000\)

\(\Rightarrow y+z=800\)

Mà z = y + 200 nên

\(y+y+200=800\Rightarrow2y=600\Rightarrow y=300\) (TM)

⇒ z = 300 + 200 = 500 (TM)

⇒ x = \(\frac32\cdot\left(500+300\right)=1200\) (TM)

Vậy diện tích lô 1, lô 2, lô 3 lần lượt là 1200m², 300m², 500m²