a\(^2\) - 2ab + b\(^2\)

= a\(^2\) - ab - ab + b\(^2\)

= (a\(^2\) - ab) - (ab - b\(^2\))

= a(a -b) - b(a - b)

= (a -b)(a -b)

= (a - b)\(^2\) ≥ 0 ∀ a; b

Suy ra: a\(^2\) - 2ab + b\(^2\) ≥ 0

a\(^2+b^2\) ≥ 2ab

CMTT ta có: b\(^2\) + c\(^2\) ≥ 2bc

\(a^2+c^2\) ≥ 2ac

Cộng vế với vế ta có: 2a\(^2\) + 2b\(^2\) + 2c\(^2\) ≥ 2ab + 2bc + 2ac

Suy ra: a\(^2+b^2+c^2\) ≥ ab + bc + ac (1)

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

a\(^2\) < a(b + c) = ab + ac

b\(^2\) < b(a + c) = ab + bc

c\(^2\) < c(a + b) = ac + bc

Cộng vế với vế ta có:

a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (2)

kết hợp (1) và (2) ta có:

ab + bc + ac ≤ a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac) (đpcm)

Ta có:

\(\left(a+b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) (1).

\(\left(b+c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2\ge0\)

\(\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc\) (2).

\(\left(c+a\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow c^2+2ca+a^2\ge0\)

\(\Rightarrow c^2+a^2\ge2ac\) (3).

Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được:

\(a^2+b^2+b^2+c^2+a^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow2.\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2.\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) (*).

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác (gt).

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{matrix}\right.\) (theo bất đẳng thức trong tam giác).

=> \(\left\{{}\begin{matrix}ac+bc>c^2\left(4\right)\\ab+ac>a^2\left(5\right)\\bc+ab>b^2\left(6\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế (4), (5) và (6) ta được:

\(ac+bc+ab+ac+bc+ab>a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow2ab+2bc+2ac>a^2+b^2+c^2\)

\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ca\right)>a^2+b^2+c^2\) (**).

Từ (*) và (**) => \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2.\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

Theo BĐTBĐT tam giác ta có:
a<b+c
=>a2<ab+ac
b<c+a
=>b2<bc+ba
c<a+b
=>c2<ca+cb
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)(1)

Ta có (a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0 với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
<=>a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+c2−2ca+a2≥0
<=>2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)
<=>ab+bc+ca≤a2+b2+c2(2)
Dấu = xảy ra khi a=b=c<=> tam giác đó đều
(1),(2)=>đpcm

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

a\(^2\) < a(b + c) = ab + ac

b\(^2\) < b(a + c) = ab + bc

c\(^2\) < c(a + b) = ac + bc

Cộng vế với vế ta có:

a\(^2+b^2+c^2\) < 2(ab + bc + ac)

nhìu quá bn à TTvTT

từ từ thui

Giải

Kẻ đoạn thẳng AM. Xét tam giác MAC. Chứng minh tương tự như bài 1.4 ta có MN < a, trong đó a là đoạn lớn nhất trong hai đoạn thẳng MA và MC. Nếu ta chứng minh được

MA < AC và MC < AC thì sẽ suy ra được a < AC, từ đó có MN < AC.

Trong tam giác ABC có AB ≤ AC, M ∈ BC (M ≠ B, M ≠ C); Chứng minh tương tự bài 1.4, ta có AM < AC. Mặt khác MC < BC ≤ CA. Vậy a < AC, suy ra MN < AC.

bạn ơi cách này trong phần giải đằng sau sách bài tập toán 7 mà !!!

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow\frac{abc}{\left(a+b\right).c}=\frac{abc}{a.\left(b+c\right)}=\frac{cab}{\left(c+a\right).b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{abc}{ac+bc}=\frac{abc}{ab+ac}=\frac{abc}{bc+ab}\)

=> ac+bc=ab+ac=bc+ab

+) ac+bc=ab+ac=> bc=ab => c=a ( do b  khác 0 ) 

+) ab+ac=bc+ab=> ac=bc => a=b ( do c khác 0 )

=> a=b=c

Khi đó: \(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)

thiếu đề bn ơi

thiếu gì bn

Cho tam giác abc vuông cân ở a ,m là trung điểm của bc, điểm e nằm giữa m và c.Ke bh,ck vuông với ae (h,k€ae) chứng minh bh=ak.C/m tam giác mbh= tam giác mak.C/m tam giác mhklaf tam giác vuông cân .Vex hình luôn cho mình mình cần gấpkhoang 6 tiênd nữa

B A C M N

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác CMN ta có:

\(CN+CM>MN\)

Vì N nằm trên BC nên CN<BC

Vì M nằm trên AC nên CM<AC

=>\(BC+AC>CM+CN>MN\)

Đến đây tự giải tiếp thì dễ rồi