Câu hỏi của TaeTae Kim

Question

$CMR\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}+\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}>=1$

Võ Hồng Phúc · Accepted Answer

Áp dụng BĐT AM - GM:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\left(a+c\right)^3}{a^3}}}=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{a+c}{a}\right)\left[1-\frac{a+c}{a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2}\right]}}$

$\ge\sqrt{\frac{4}{\left[1++\frac{a+c}{a}+1-\frac{a+c}{a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2}\right]^2}}$

$=\sqrt{\frac{4a^4}{\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]^2}}=\frac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

Tương tự ta chứng minh được:

$\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}$

$\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}$

Công vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta được

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Mà đề bài có điều kiện a, b, c khác 0 không bạn

Câu trả lời:

Áp dụng BĐT AM - GM:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\left(a+c\right)^3}{a^3}}}=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{a+c}{a}\right)\left[1-\frac{a+c}{a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2}\right]}}$

$\ge\sqrt{\frac{4}{\left[1++\frac{a+c}{a}+1-\frac{a+c}{a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{a^2}\right]^2}}$

$=\sqrt{\frac{4a^4}{\left[2a^2+\left(b+c\right)^2\right]^2}}=\frac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

Tương tự ta chứng minh được:

$\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}$

$\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}$

Công vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta được

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Mà đề bài có điều kiện a, b, c khác 0 không bạn

sjbjscb · Answer

@Nguyễn Việt Lâm

Câu trả lời:

@Nguyễn Việt Lâm

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP