\(a,\left(a+b\right)^2\ge4ab\\ \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\\ \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)

Do đó \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(đpcm)

Các câu sau tương tự

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\ge0\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{2}-b\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-c\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-d\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-e\right)^2\ge0\) (đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\dfrac{a}{2}=b=c=d=e\)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a.\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ae+4e^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)

Vì a>b>c>d>e

=>a>c và a>d a>e ;b>c và b>d và b>e
=> a.a+b.b>c+d+e
=>\(a^2+b^2>\frac{c+d+e}{2}\)

Mình sẽ chứng minh bằng biến đổi tương đương nhé :)

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\frac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT ban đầu được chứng minh.

đăng từng câu 1 thôi, nhiều nhất là 3 câu/ 1 lần hỏi vì đâu có giới hạn số lần hỏi

mk sẽ rút kinh nghiệm cám ơn

c)

áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm ta có

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2.b^2}=2ab\)

tương tự

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ac\)

cộng các vế với nhau ta đc

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)

=>\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (đpcm)

Thân heo vừa béo lại vừa ù
Bảy nổi ba chìm với nước lu
Chết đuối quẫy chân không ai cứu
Đứa nào mà cứu, đứa ấy ngu


 

a, a²+b²+c² >= ab+bc+ca

<=>a²+b²+c²-ab-bc-ca >= 0

<=>2(a²+b²+c²-ab-bc-ca) >= 0

<=>2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca >= 0

<=>(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²) >= 0

<=>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² >= 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra chỉ khi và khi \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)

Vậy...

b, a²+b²+1 >= ab+a+b

<=>a²+b²+1-ab-a-b >= 0

<=>2(a²+b²+1-ab-a-b) >= 0

<=>2a²+2b²+2-2ab-2a-2b >= 0

<=>(a²-2ab+b²)+(a²-2a+1)+(b²-2b+1) >= 0

<=>(a-b)²+(a-1)²+(b-1)² >= 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra chỉ khi và khi \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-1=0\\b-1=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=1}\)

Vậy...

c, a²+b²+c²+3 >= 2(a+b+c)

<=>a²+b²+c²+3-2a-2b-2c >= 0

<=>(a²-2a+1)+(b²-2b+1)+(c²-2c+1) >= 0

<=>(a-1)²+(b-1)²+(c-1)² >= 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra chỉ khi và khi \(\hept{\begin{cases}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)

Vậy...

d, a²+b²+c² >= 2(ab+bc-ca)

<=>a²+b²+c²-2ab-2bc+2ca >= 0

<=>(a-b-c)² >= 0 (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Vậy...

e,ta có:  \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}-\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{4}\ge0\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng) (1)

Lại có: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-\frac{4ab}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4}\ge0\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\ge0\) (luôn đúng) (2)

Từ (1) và (2) => \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b