a: Ta có: \(\hat{ABD}+\hat{ABI}=180^0\) (hai góc kề bù)

\(\hat{ACE}+\hat{KCA}=180^0\) (hai góc kề bù)

mà \(\hat{ABD}=\hat{ACE}\left(=90^0-\hat{BAC}\right)\)

nên \(\hat{ABI}=\hat{KCA}\)

Xét ΔABI và ΔKCA có

AB=KC

\(\hat{ABI}=\hat{KCA}\)

BI=CA

Do đó: ΔABI=ΔKCA

=>AI=AK

b: ΔABI=ΔKCA

=>\(\hat{AIB}=\hat{KAC}\)

mà \(\hat{AIB}+\hat{DAI}=90^0\) (ΔADI vuông tại D)

nên \(\hat{KAC}+\hat{DAI}=90^0\)

=>\(\hat{IAK}=90^0\)

=>ΔIAK vuông cân tại A

bạn chứng minh AN vuông với HI đi

(tự vẽ hình )

câu 4:

 a) có AB² + AC² = 225

BC² = 225

Pytago đảo => \(\Delta ABC\)vuông tại A

b) Xét \(\Delta MAB\)và \(\Delta MDC\)

MA = MD (gt)

BM = BC ( do M là trung điểm của BC ) 

\(\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\)( hai góc đối đỉnh )

=> \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\) (cgc)

c) vì \(\Delta MAB\)= \(\Delta MDC\)

=> \(\hept{\begin{cases}AB=DC\\\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\end{cases}}\)

=> AB// DC

lại có AB \(\perp\)AC => DC \(\perp\)AC => \(\Delta KCD\)vuông tại C

Xét \(\Delta\) vuông ABK và \(\Delta\)vuông KCD:

AB =CD (cmt)

AK = KC ( do k là trung điểm của AC )

=> \(\Delta\)vuông AKB = \(\Delta\)vuông CKD (cc)

=> KB = KD

d. do KB = KD => \(\Delta KBD\)cân tại K

=> \(\widehat{KBD}=\widehat{KDB}\)(1)

có \(\Delta ADC\)vuông tại C => \(AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=15\)

=> MD = 7.5

mà MB = 7.5

=> MB = MD 

=> \(\Delta MBD\)cân tại M

=> \(\widehat{MBD}=\widehat{MDB}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{KBD}-\widehat{MBD}=\widehat{KDB}-\widehat{MDB}\)hay \(\widehat{KBM}=\widehat{KDM}\)

Xét \(\Delta KBI\)và \(\Delta KDN\)có:

\(\widehat{KBI}=\widehat{KDN}\)(cmt)

\(\widehat{KBD}\)chung

KD =KB (cmt) 

=> \(\Delta KBI\)= \(\Delta KDN\)(gcg)

=> KN =KI 

=. đpcm

câu 5: 

a) Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta MDC\):

MA=MD(gt)

MB=MC (M là trung điểm của BC)

\(\widehat{BMA}=\widehat{DMC}\)( đối đỉnh )

=> \(\Delta BMA=\Delta CMD\)(cgc)

b) Xét \(\Delta\)vuông ABC 

có AM là đường trung tuyến của tam giác 

=> \(AM=\frac{1}{2}BC\)mà \(BM=MC=\frac{1}{2}BC\)(do M là trung điểm của BC )

=> AM = BM = MC 

có MA =MD => AM = MD =MB =MC

=> BM +MC = AM +MD hay BC =AD

Xét \(\Delta BAC\)và \(\Delta DCA\)

AB =DC

AC chung

BC =DC

=> \(\Delta BAC\)= \(\Delta DCA\)(ccc)

c. Xét \(\Delta ABM\)

BM=AM

\(\widehat{ABM}\)= 60⁰

^{=> đpcm}

A B C E D N M K H

CM : a)Xét t/giác ABC và t/giác ADE

có AB = AD (gt)

  góc EAD = góc BAC (đối đỉnh)

  AC = AE (gt)

=> t/giác ABC = t/giác ADE (c.g.c)

=> ED = BC (hai cạnh tương ứng) (Đpcm)

=> góc E = góc C (hai góc tương ứng)

Mà góc E và góc C ở vị trí so le trong

=> ED // BC (Đpcm)

b) Ta có: t/giác ABC = t/giác ADE (cmt)

=> góc D = góc B (hai góc tương ứng) (1)

Mà góc EDM = góc MDA = góc D/2 (2)

   góc ABN = góc NBC = góc B/2 (3)

Từ (1); (2); (3) => góc EDM = góc NBC

Xét t/giác EMD và t/giác CNB

có ED = BC (cmt)

góc EDM = góc NBC (cmt)

 góc E = góc C (cmt)

=> t/giác EMD = t/giác CNB (g.c.g) (Đpcm)

c) Ta có: t/giác EMD = t/giác CNB (cmt)

=> MD = BN (hai cạnh tương ứng)

Mà MK = KD = MD/2

    BH = HN = BN/2

=> KD = BH 

Từ (1); (2); (3) => góc MDA = góc ABN

Xét t/giác ADK và t/giác ABN

có AD = AB (gt)

 góc MDA = góc ABN (cmt)

 KD = BH (cmt)

=> t/giác ADK = t/giác ABN (c.g.c)

=> góc KAD = góc BAH (hai góc tương ứng)

Do B,A,D là ba điểm thẳng hàng nên góc BAM + góc MAK + góc KAD = 180⁰

hay góc BAM + góc MAK + góc BAH = 180⁰

=> ba điểm K, A,H thẳng hàng (Đpcm)

A B C D E

Ta thấy AB = BD (GT) ; AC=CE (GT)

Mà AB = AC ( do tam  gaics ABC cân tại A)

Nên BD=CE

Ta thấy ^DBA = 180 dộ - ^ABC

           ^ECA = 180 độ - ^ACB

mà ^ABC = ^ ACB suy ra ^DBA = ^ ECA

Xét tam giác ABD và tam giác ACE có: 

              AB = AC

               ^BDA = ^ECA (cmt)

             BD = CE ( cmt )

suy ra tam giác ABD = tam giác ACE (c.g.c)

Suy ra ^D = ^ E ( 2 cạnh tương ứng)

Suy ra tam giac ADE cân tại A

+, ta thấy DE = BD + BC + CE

MÀ BD =AB ( GT ); CE= AC (GT)

Suy ra DE = AB+ BC+AC

b, Tam giác ABC có: ^BAC + ^ABC+^ACB = 180

                              32 + ^ABC + ^ ACB =180

                               ^ABC + ^ACB = 180-32=158

Suy ra ^ABC = ^ ACB = 158 :2 = 79

Mà ^ABC là góc ngoài của tam giac ABD cân tại b

Nên ^D=79:2=39,5

Suy ra D =^E= 39,5( tam giác ADE cân)

SUY ra DAC= 180-39,5-39,5=101

sao vẽ dc hình z Thành Đạt