Ta có:

\(2n^3+3n^2+n=n\left(2n^2+3n+1\right)=n\left(2n^2+2n+n+1\right)=n\left[2n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n-2+3\right)=n\left(n+1\right)\left(2n-2\right)+3n\left(n+1\right)=2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\)

Ta thấy:

\(n-1;n;n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp (\(n\in Z\)) => tích của chúng chia hết cho 2 và 3. \(\Rightarrow2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)

Và \(3n\left(n+1\right)⋮6\Rightarrow2n^3+3n^2+n⋮6\)

Đặt \(A=2n^2\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

Do n và n+1 là 2 số nguyên liên tiếp với mọi n nguyên nên \(n\left(n+1\right)\) luôn chia hết cho 2

=>A chia hết cho 2 với mọi n nguyên (1)

Mặt khác ta có:

- Nếu n chia hết cho 3 thì \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\) chia hết cho 3

- Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n chia 3 dư 2 =>2n+1 chia hết cho 3 =>\(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\) chia hết cho 3

- Nếu n chia 3 dư 2 thì n+1 chia hết cho 3 =>n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3

Vậy A=n(n+1)(2n+1) chia hết cho 3 với mọi n nguyên (2)

Từ (1) và (2) =>A chia hết cho 6 với mọi n nguyên

\(2n^2\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n-1+n+2\right)\)

=n(n+1)(n-1)+n(n+1)(n+2)

Vì n;n-1;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên n(n-1)(n+1)⋮3!=6(1)

Vì n;n+1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên n(n+1)(n+2)⋮3!=6(2)

Từ (1),(2) suy ra n(n+1)(n-1)+n(n+1)(n+2)⋮6

=>\(2n^2\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\) ⋮6

Đề có vấn đề rồi bạn ơi! Ta thử ngay n=2 sẽ thấy n³-n=6 không chia hết cho 8 !!!

Sửa: 8 thành 16

a) \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)

\(=\left[\left(n+6\right)-\left(n-6\right)\right]\left[\left(n+6\right)+\left(n-6\right)\right]\)

\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)

\(=12.2n\)

\(=24n\)

Vì 24n chia hết cho 24 với mọi n

=> (n + 6)² - (n - 6)² chia hết cho 24 với mọi n thuộc Z (Đpcm)

b) P/s: Bài này cậu thiếu điều kiện n lẻ nên mình thêm vào mới giải được nha.

\(n^2+4n+3\)

\(=n^2+n+3n+3\)

\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

Vì n là số lẻ nên n = 2k + 1 ( k thuộc Z )

Thay n = 2k + 1 vào ta được

\(\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)

\(=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)\)

\(=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)

Vì (k + 2)(k + 1) là tích của hai số liên tiếp

=> (k + 2)(k + 1) chia hết cho 2

=> 4(k + 2)(k + 1) chia hết cho 8

=> n² + 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi số nguyên n lẻ ( Đpcm )

c) \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)

\(=\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\left[\left(n+3\right)+\left(n-1\right)\right]\)

\(=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)\)

\(=4\left(2n+2\right)\)

\(=4.2\left(n+1\right)\)

\(=8\left(n+1\right)\)

Vì 8(n + 1) chia hết cho 8 với mọi n

=> (n + 3)² - (n - 1)² chia hết cho 8 với mọi n ( Đpcm )

\(n^3-n\)

\(n\left(n^2-1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)

Do \(n-1;n;n+1\)là 3 số tn liên tiếp \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\)chia hết cho 6

\(2n^2\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n-1+n+2\right)\)

=n(n+1)(n-1)+n(n+1)(n+2)

Vì n;n-1;n+1 là ba số nguyên liên tiếp

nên n(n-1)(n+1)⋮3!=6(1)

Vì n;n+1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên n(n+1)(n+2)⋮3!=6(2)

Từ (1),(2) suy ra n(n+1)(n-1)+n(n+1)(n+2)⋮6

=>\(2n^2\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\) ⋮6

Để chứng minh rằng biểu thức \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 6 với \(n \in \mathbb{Z}\), ta cần chứng minh rằng biểu thức này chia hết cho 2 và 3, vì một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho cả 2 và 3.

Bước 1: Chia hết cho 2

Ta cần chứng minh rằng \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 2.

Xét biểu thức:

\(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\)

Chia nó thành hai phần:

• Phần thứ nhất: \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chắc chắn chia hết cho 2 vì có yếu tố 2.
• Phần thứ hai: \(n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) là tích của hai số liên tiếp. Một trong hai số này chắc chắn chia hết cho 2, nên \(n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 2.

Do đó, cả hai phần của biểu thức đều chia hết cho 2, nên tổng \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 2.

Bước 2: Chia hết cho 3

Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 3.

Xét biểu thức:

\(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\)

Ta sẽ xét các trường hợp với \(n m o d \textrm{ } \textrm{ } 3\) (tức là \(n\) chia cho 3 có dư 0, 1 hoặc 2).

Trường hợp 1: \(n \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

• Khi \(n \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta có \(n = 3 k\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
• Biểu thức trở thành:
  \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right) = 2 \left(\right. 3 k \left.\right)^{2} \left(\right. 3 k + 1 \left.\right) + \left(\right. 3 k \left.\right) \left(\right. 3 k + 1 \left.\right)\)
  Vì \(n = 3 k\), ta thấy cả hai phần của biểu thức đều chia hết cho 3, do đó \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\)chia hết cho 3.

Trường hợp 2: \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

• Khi \(n \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta có \(n = 3 k + 1\).
• Biểu thức trở thành:
  \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right) = 2 \left(\right. 3 k + 1 \left.\right)^{2} \left(\right. 3 k + 2 \left.\right) + \left(\right. 3 k + 1 \left.\right) \left(\right. 3 k + 2 \left.\right)\)
  Ta có thể tính chi tiết từng phần, nhưng vì \(\left(\right. 3 k + 1 \left.\right) \left(\right. 3 k + 2 \left.\right)\) luôn chia hết cho 3, nên \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 3.

Trường hợp 3: \(n \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

• Khi \(n \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\), ta có \(n = 3 k + 2\).
• Biểu thức trở thành:
  \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right) = 2 \left(\right. 3 k + 2 \left.\right)^{2} \left(\right. 3 k + 3 \left.\right) + \left(\right. 3 k + 2 \left.\right) \left(\right. 3 k + 3 \left.\right)\)
  Cũng như các trường hợp trên, \(\left(\right. 3 k + 2 \left.\right) \left(\right. 3 k + 3 \left.\right)\) chia hết cho 3, do đó \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho 3.

Kết luận:

Vì biểu thức \(2 n^{2} \left(\right. n + 1 \left.\right) + n \left(\right. n + 1 \left.\right)\) chia hết cho cả 2 và 3, nên nó chia hết cho 6 với mọi \(n \in \mathbb{Z}\).

n³ + 2012n = n³ - n + 2013n = n(n² - 1) + 2013n = (n -1)n(n + 1) + 2013n

Nhận thấy (n - 1)n(n + 1) \(⋮\)3 (tích 3 số nguyên liên tiếp)

Lại có : 2013n \(⋮\)3 (vì 2013 \(⋮\)3)

=> (n -1)n(n + 1) + 2013n \(⋮\)3

=> n³ + 2012 \(⋮3\forall n\inℤ\)

\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+5n-n^2-2n+3n+6\)

\(=6n+6\)

\(=6\left(n+1\right)\) chia hết cho 6

=>\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 6

Tks pn nhìu nha >3

\(\text{ Ta có : }\left(n+2\right)^2-\left(n+2\right)^2=0⋮8\left(đpcm\right)\)

Vậy...............

Sai đề rồi :))

\(\left(n+2\right)^2-\left(n-2\right)^2⋮8\)

\(\text{Ta có : }\left(n+2\right)^2-\left(n-2\right)^2\\ \\ =\left(n+2+n-2\right)\left(n+2-n+2\right)\\ \\ =2n\cdot4\\ \\ =8n⋮8\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\left(n+2\right)^2-\left(n-2\right)^2⋮8\)