Câu hỏi của Nguyễn Minh Tuyền

Question

Chứng minh $\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3$với a>0, b>0.

Đinh Đức Hùng · Accepted Answer

$\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3$

$\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}$

$\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{8}$

$\Leftrightarrow\frac{a^2-ab+b^2}{2}-\frac{a^2+2ab+b^2}{8}\ge0$

$\Leftrightarrow\frac{4a^2-4ab+4b^2-a^2-2ab-b^2}{8}\ge0$

$\Leftrightarrow\frac{3a^2-6ab+3b^2}{8}\ge0$

$\Leftrightarrow\frac{3\left(a-b\right)^2}{8}\ge0$ (luôn đúng)

Vậy $\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3$

Câu trả lời: