a) Xét ∆ABE và ∆ACF, ta có:

\(\widehat{A}\) là góc chung.

\(\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ\) (do BE, CF là đường cao).

=> ∆ABE = ∆ACF (g . g)

Do đó, \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\) (tỉ số đồng dạng)

Vậy \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\) (đpcm).

b) Ta có: \(\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}\) (cmt)

=> \(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét ∆AEF và ∆ABC, ta có:

\(\widehat{A}\) là góc chung.

\(\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}\) (cmt)

=> ∆AEF = ∆ABC (c . g . c)

Do đó, \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\) (hai góc tương ứng) (1)

Xét ∆CAD và ∆CBA, ta có:

\(\widehat{C}\) là góc chung.

\(\widehat{ADC} = \widehat{BEC} = 90^\circ\) (do AD, BE là đường cao).

=> ∆CAD = ∆CBA (g . g)

Do đó, \(\frac{CD}{CE} = \frac{CA}{CB} \Rightarrow \frac{CE}{CB} = \frac{CD}{CA}\)

Xét ∆CED và ∆CBA, có:

\(\widehat{C}\) là góc chung.

\(\frac{CE}{CB} = \frac{CD}{CA}\) (chứng minh trên).

=> ∆CED = ∆CBA (c . g . c)

=> \(\Rightarrow \widehat{CED} = \widehat{CBA}\) (hay \(\widehat{ABC}\) ) (2)

Từ (1) và (2) ta thấy \(\widehat{AEF}\) và \(\widehat{CED}\) đều bằng \(\widehat{ABC}\).

Hay \(\widehat{AEF}=\widehat{CED}\)

Vậy \(\widehat{AEF}=\widehat{CED}\) (đpcm)

c) Vì ∆AEF = ∆ABC(cmt) nên \(\widehat{AFE} = \widehat{ACB}\)

Ta có: \(\widehat{AFE} + \widehat{EFH} + \widehat{HFB} = 180^\circ\)

Mà \(\widehat{HFB} = 90^\circ\) nên \(\widehat{AFE} + \widehat{EFH} = 90^\circ\).

Ta lại có: \(\widehat{BFD} + \widehat{DFH} = 90^\circ\)

Vì \(\widehat{AFE} = \widehat{BFD}\) (cùng bằng \(\widehat{ACB}\) ) nên \(\widehat{EFH} = \widehat{DFH}\).

=> FH là tia phân giác của \(\widehat{EFD}\).

=> EH là tia phân giác \(\widehat{FED}\).

Xét ∆FED có H là giao điểm của hai đường phân giác FH và EH nên H là tâm dường tròn nội tiếp của ∆FED.

=> DH là tia phân giác trong của \(\widehat{EDF}\).

Vì AD⊥BC tại D nên DB là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của ∆FED.

Xét ∆ADN, có:

EF cắt AD tại H và AM tại N.

=> \(\frac{AN}{HN} = \frac{AD}{HD}\).

Mà M đối xứng với H qua D nên HD = DM.

Thay HD = DM vào \(\frac{AN}{HN}=\frac{AD}{HD}\), ta có:

\(\frac{AN}{HN} = \frac{AD}{DM}\)

=> HN . AD = AN . DM.(đpcm)

a) xét △ABE và △ACF có:

góc A chung

góc AEB= góc AFC= 90 độ

=>△ABE~△ACF(g.g)

=> \(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\)