Chọn D.

Lời giải.

Ta có

Từ (1) và (2) 

Gọi I là trung điểm AC 

Mặt khác

Từ (3) và (4) 

nên góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) bằng góc giữa hai đường thẳng HK và HC.

Xét tam giác CHK vuông tại K, có 

+ Ta có  S A B ⊥ A B C S A C ⊥ A B C S A C ∩ S A B = S A ⇒ S A ⊥ A B C

+ Xác định điểm N, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N ⇒  N là trung điểm của AC (MN//BC).

+ Xác định được góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là  S B A ^ = 60 °

⇒  SA = AB.tan 60 °  = 2a 3

AC =  A B 2 + B C 2 = 2 a 2

+ Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SN (điểm I thuộc AB và điểm J thuộc SN). Vậy khoảng cách giữa AB và SN là IJ. Ta sẽ biểu thị IJ → qua ba vectơ không cùng phương  A B → ;   A C → ;   A S → .

I J → = I A → + A N → + N J → = m A B → + 1 2 A C → + p N S → = m A B → + 1 2 A C → + p N A → + A S → = m A B → + 1 − p 2 A C → + p A S →

Ta có: I J → ⊥ A B → I J → ⊥ N S → ⇔ I J → . A B → = 0 I J → . N S → = 0  

Thay vào ta tính được m = -6/13; p = 1/13

Do đó: I J → = − 6 13 A B → + 6 13 A C → + 1 13 A S → . Suy ra

169 I J 2 = 36 A C 2 + 36 A B 2 + A S 2 − 72 A B → . A C → .

Thay số vào ta tính được IJ = 2 a 39 13 .

Vậy d(AB; SN) = 2 a 39 13 .

Đáp án D

Nhận xét

Gọi (α) là mặt phẳng qua SM và song song với AB.

Ta có BC // (α) và (ABC) là mặt phẳng chứa BC nên (ABC) sẽ cắt (α) theo giao tuyến d đi qua M và song song với BC, d cắt AC tại N.

Ta có (α) chính là mặt phẳng (SMN). Vì M là trung điểm AB nên N là trung điểm AC.

+ Xác định khoảng cách.

Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AB.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua SN và d’.

Ta có: AB // (P).

Khi đó: d(AB, SN) = d(A, (P)).

Dựng AD ⊥ d’, ta có AB // (SDN). Kẻ AH vuông góc với SD, ta có AH ⊥ (SDN) nên:

d(AB, SN) = d(A, (SND)) = AH.

Trong tam giác SAD, ta có 

Trong tam giác SAB, ta có S A   =   A B . tan 60 o   =   2 a 3 và AD = MN = BC/2 = a.

Thế vào (1), ta được

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0), A(a,0,0)$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $\widehat{BAC} = 30^\circ$ ⇒

$AC = \dfrac{AB}{\cos 30^\circ} = \dfrac{a}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

Suy ra $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{\dfrac{4a^2}{3} - a^2} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$

⇒ $C(0, a/\sqrt{3}, 0)$

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy ⇒

$SA ⟂ (ABC)$ ⇒ $S = (a,0,h)$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SA$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a^2}{2\sqrt{3}}$

Vậy:

$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2\sqrt{3}} \cdot h = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{36}$

Rút gọn:

$\dfrac{a^2 h}{6\sqrt{3}} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{36}$

$\Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{a}{2}$

⇒ $S = (a,0,a/2)$

Vector trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = B - S = (-a, 0, -a/2)$

$\vec{SC} = C - S = (-a, a/\sqrt{3}, -a/2)$

Vector pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ -a & 0 & -a/2 \\ -a & a/\sqrt{3} & -a/2 \end{vmatrix} = (a^2/(2\sqrt{3}), 0, -a^2/\sqrt{3})$

$|\vec{n}| = \sqrt{\dfrac{a^4}{12} + \dfrac{a^4}{3}} = \sqrt{\dfrac{5a^4}{12}} = \dfrac{a^2 \sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$:

$\vec{AS} = A - S = (0,0,-a/2)$

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-a^2/\sqrt{3})(-a/2)|}{a^2 \sqrt{5}/(2\sqrt{3})} = \dfrac{a^3/(2\sqrt{3})}{a^2 \sqrt{5}/(2\sqrt{3})} = \dfrac{a}{\sqrt{5}} = \dfrac{a \sqrt{5}}{5}$

Vậy khoảng cách cần tìm là:

$d = \dfrac{a \sqrt{5}}{5}$

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=a$ nên:

$S(a,0,a)$.

Trong mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{SA}=(0,0,a),\ \vec{AC}=(-a,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SAC)$ là:

$\vec n_1=\vec{SA}\times\vec{AC}=(-a^2,-a^2,0)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_1=(1,1,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB}=(-a,0,-a),\ \vec{BC}=(0,a,0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$ là:

$\vec n_2=\vec{SB}\times\vec{BC}=(a^2,0,-a^2)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_2=(1,0,-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}$

$=\dfrac{|1\cdot1+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{1^2+1^2}\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

$=\dfrac{1}{2}$.

Suy ra:

$\alpha=60^\circ$.

Vậy chọn đáp án A.

ĐÁP ÁN: B