Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi:
$AC=BC=x$ vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$.
Do $SA\perp(ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$.
Ta có: $SC=a$ nên: $SA^2+AC^2=a^2$
$\Rightarrow SA^2+x^2=a^2$.
Thể tích khối chóp:
$V=\dfrac13S_{ABC}\cdot SA$
$=\dfrac13\cdot\dfrac{x^2}{2}\cdot SA$
$=\dfrac{x^2SA}{6}$.
Từ: $SA^2=a^2-x^2$ suy ra: $SA=\sqrt{a^2-x^2}$.
Do đó: $V=\dfrac{x^2\sqrt{a^2-x^2}}{6}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.
Vì: $SA\perp(ABC)\Rightarrow SA\perp BC$ và: $CM\perp BC$
nên mặt phẳng $(SCM)\perp BC$.
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là:
$\alpha=\widehat{SCM}$.
Trong tam giác vuông $SCM$ tại $C$:
$\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC}$.
Mà: $SM^2=SA^2+CM^2 =SA^2+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2$.
Từ điều kiện cực đại thể tích:
Xét: $f(x)=x^2\sqrt{a^2-x^2}$.
Ta có:
$f'(x)=0 \Rightarrow 2(a^2-x^2)-x^2=0$
$\Rightarrow 2a^2=3x^2$
$\Rightarrow x^2=\dfrac{2a^2}{3}$.
Suy ra: $SA^2=a^2-\dfrac{2a^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}$.
Khi đó:
$SM^2=\dfrac{a^2}{3}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2a^2}{3} =\dfrac{a^2}{2}$.
Do đó: $SM=\dfrac{a}{\sqrt2}$.
Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{SM}{SC} =\dfrac{a/\sqrt2}{a} =\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{2}}$.
Đặt hệ trục tọa độ sao cho:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(a,a\sqrt3,0),\ D(0,a\sqrt3,0)$.
Vì $SA\perp(ABCD)$ và $SA=a$ nên:
$S(0,0,a)$.
Ta có:
$\vec{BD}=(-a,a\sqrt3,0)$.
Trong mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{SB}=(-a,0,a),\ \vec{BC}=(0,a\sqrt3,0)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$ là:
$\vec n=\vec{SB}\times\vec{BC}=(-a^2\sqrt3,0,-a^2\sqrt3)$.
Suy ra có thể lấy:
$\vec n=(1,0,1)$.
Góc giữa đường thẳng $BD$ và mặt phẳng $(SBC)$ là $\alpha$, khi đó:
$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{BD}\cdot\vec n|}{|\vec{BD}||\vec n|}$.
Ta có:
$\vec{BD}\cdot\vec n=-a$,
$|\vec{BD}|=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$,
$|\vec n|=\sqrt2$.
Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{a}{2a\sqrt2}=\dfrac{1}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{4}$.
Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{4}}$.
Chọn đáp án C.
Đặt hệ trục tọa độ sao cho:
$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0)$.
Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=3a$ nên:
$S(a,0,3a)$.
Ta có:
$\vec{AC}=(-a,2a,0),\ \vec{AS}=(0,0,3a)$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là:
$\vec n_1=\vec{AC}\times\vec{AS}=(6a^2,3a^2,0)$.
Suy ra có thể lấy:
$\vec n_1=(2,1,0)$.
Trong mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{BC}=(0,2a,0),\ \vec{BS}=(a,0,3a)$.
Vectơ pháp tuyến là:
$\vec n_2=\vec{BC}\times\vec{BS}=(6a^2,0,-2a^2)$.
Suy ra: $\vec n_2=(3,0,-1)$.
Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến nên:
$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{|2\cdot3+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt5\sqrt10}=\dfrac{6}{5\sqrt2}$.
Suy ra: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{36}{50}}=\sqrt{\dfrac{14}{50}}=\dfrac{\sqrt7}{5}$.
Vậy:
$\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt7}{5}}$.
Chọn đáp án D.
Chọn A
Phương pháp:
- Dựng hình hộp chữ nhật SB'C'D'.ABCD, xác định góc giữa BD và (SBC) (nhỏ hơn 90 0 ) là góc giữa
BD và hình chiếu của nó trên (SBC) .
- Sử dụng các kiến thức hình học đã học ở lớp dưới tìm sin α .
Cách giải:
Qua B,C,D lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với đáy.
Dựng hình hộp chữ nhật SB'C'D'.ABCD như hình vẽ.
Dễ thấy mặt phẳng (SBC) được mở rộng thành mặt phẳng (SBCD').
Tam giác D'DC có D'D = DC = a và D = 90 0 nên vuông cân tại D
Đáp án C
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp đều ∆ABD
Ta có 
Lại có d(H;(SBC)) = HK và 
Khoảng cách từ D →(SBC) là 
Vậy ∆ABD 
Chọn A.
Dựng SH ⊥ AC , do ( SAC ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) ; AC = 2 a . Dựng HE ⊥ BC ; HF ⊥ SE ⇒ d ( H ; ( SBC ) ) = HF . ΔSAC = ΔBCA ⇒ ΔSAC vuông tại S .
Dễ thấy tan ACB ^ = 1 3 ⇒ ACB ^ = 30 o = SAC ^ HC = SCcos 60 o = a 2 ; HE = HCsin 30 o = a 4 ; SH = a 3 2 . Do AC = 4 HC ⇒ d A = 4 d H = 4 . SH . HE SH 2 + HE 2 = 2 39 13 Do đó Sinα = d A SA = 2 13 .
Đặt hệ trục tọa độ sao cho:
$B(0,0,0),\ C(a\sqrt3,0,0),\ A(0,a\sqrt3,0)$.
Vì $(SAC)\perp(ABC)$ nên mặt phẳng $(SAC)$ vuông góc với mặt phẳng $Oxy$. Suy ra điểm $S$ thuộc mặt phẳng đi qua $AC$ và vuông góc với $(ABC)$.
Ta đặt: $S(x,y,z)$.
Do: $SA=SB=a,\ SC=a$ nên:
$SB^2=x^2+y^2+z^2=a^2 \quad (1)$
$SC^2=(x-a\sqrt3)^2+y^2+z^2=a^2 \quad (2)$
Lấy $(2)-(1)$:
$-2a\sqrt3,x+3a^2=0 \Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.
Tương tự từ:
$SA^2=x^2+(y-a\sqrt3)^2+z^2=3a^2$ và $(1)$:
$-2a\sqrt3,y+3a^2=2a^2$
$\Rightarrow y=\dfrac{a\sqrt3}{6}$.
Thế vào $(1)$:
$\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{12}+z^2=a^2$
$\Rightarrow z^2=\dfrac{a^2}{6}$.
Suy ra: $z=\dfrac{a}{\sqrt6}$.
Ta có:
$\vec{SA}=\left(-\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac{5a\sqrt3}{6},-\dfrac{a}{\sqrt6}\right)$.
Trong mặt phẳng $(SBC)$:
$\vec{SB}=\left(-\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{6},-\dfrac{a}{\sqrt6}\right)$,
$\vec{SC}=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac{a\sqrt3}{6},-\dfrac{a}{\sqrt6}\right)$.
Vectơ pháp tuyến của $(SBC)$:
$\vec n=\vec{SB}\times\vec{SC}=(0,1,-\sqrt2)$.
Góc giữa $SA$ và $(SBC)$ thỏa:
$\sin\alpha=\dfrac{|\vec{SA}\cdot\vec n|}{|\vec{SA}||\vec n|}$.
Ta có:
$\vec{SA}\cdot\vec n=\dfrac{5a\sqrt3}{6}+\dfrac{a}{\sqrt3}=\dfrac{7a\sqrt3}{6}$,
$|\vec{SA}|=a\sqrt3$,
$|\vec n|=\sqrt3$.
Suy ra: $\sin\alpha=\dfrac{\dfrac{7a\sqrt3}{6}}{a\sqrt3\cdot\sqrt3}=\dfrac{7}{6\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}$.
Vậy: $\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{13}}{13}}$.
Chọn đáp án C.