Chọn A

Gọi H là trung điểm của AC. Đỉnh S cách đều các điểm A, B, C 

=> SH  ⊥ (ABC)

Xác đinh được 

Ta có MH // SA

Gọi I là trung điểm của AB => HI ⊥ AB

và chứng minh được HK  ⊥ (SAB)

Trong tam giác vuông SHI tính được 

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0), A(a,0,0)$

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $\widehat{BAC} = 30^\circ$ ⇒

$AC = \dfrac{AB}{\cos 30^\circ} = \dfrac{a}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

Suy ra $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{\dfrac{4a^2}{3} - a^2} = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$

⇒ $C(0, a/\sqrt{3}, 0)$

Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ cùng vuông góc với đáy ⇒

$SA ⟂ (ABC)$ ⇒ $S = (a,0,h)$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot SA$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a}{\sqrt{3}} = \dfrac{a^2}{2\sqrt{3}}$

Vậy:

$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2}{2\sqrt{3}} \cdot h = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{36}$

Rút gọn:

$\dfrac{a^2 h}{6\sqrt{3}} = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{36}$

$\Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{a}{2}$

⇒ $S = (a,0,a/2)$

Vector trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = B - S = (-a, 0, -a/2)$

$\vec{SC} = C - S = (-a, a/\sqrt{3}, -a/2)$

Vector pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix} i & j & k \\ -a & 0 & -a/2 \\ -a & a/\sqrt{3} & -a/2 \end{vmatrix} = (a^2/(2\sqrt{3}), 0, -a^2/\sqrt{3})$

$|\vec{n}| = \sqrt{\dfrac{a^4}{12} + \dfrac{a^4}{3}} = \sqrt{\dfrac{5a^4}{12}} = \dfrac{a^2 \sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$:

$\vec{AS} = A - S = (0,0,-a/2)$

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-a^2/\sqrt{3})(-a/2)|}{a^2 \sqrt{5}/(2\sqrt{3})} = \dfrac{a^3/(2\sqrt{3})}{a^2 \sqrt{5}/(2\sqrt{3})} = \dfrac{a}{\sqrt{5}} = \dfrac{a \sqrt{5}}{5}$

Vậy khoảng cách cần tìm là:

$d = \dfrac{a \sqrt{5}}{5}$

Chọn đáp án D

+ Gọi  H là trung điểm SB. Do tam giác SAB vuông tại A, SBC vuông tại C suy ta HA = HB = HS = HC

Suy ra H là tâm mặt cầu.

+ Gọi I là hình chiếu của H lên (ABC). Do HA = HB = HC , suy ra IA = IB = IC 

Suy ra I là trung điểm AC. Gọi P là trung điểm BC, do tam giác ABC vuông cân, suy ra

Áp dụng hệ thức

\

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0), A(a\sqrt{3},0,0), C(0,a\sqrt{3},0)$

Vì $\angle SAB = 90^\circ$ và $\angle SCB = 90^\circ$ ⇒

$SA ⟂ AB$, $SC ⟂ BC$

Giả sử $S = (x,y,z)$

Điều kiện:

$\vec{SA} \cdot \vec{AB} = 0$ ⇒ $(x - a\sqrt{3}, y, z) \cdot (a\sqrt{3},0,0) = 0$

$\Rightarrow (x - a\sqrt{3}) a\sqrt{3} = 0 \Rightarrow x = a\sqrt{3}$

$\vec{SC} \cdot \vec{CB} = 0$ ⇒ $(x, y - a\sqrt{3}, z) \cdot (0,-a\sqrt{3},0) = 0$

$\Rightarrow (y - a\sqrt{3})(-a\sqrt{3}) = 0 \Rightarrow y = a\sqrt{3}$

⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, z)$

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$

Vector:

$\vec{SB} = B - S = (-a\sqrt{3}, -a\sqrt{3}, -z)$

$\vec{SC} = C - S = (-a\sqrt{3}, 0, -z)$

Pháp tuyến:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (a\sqrt{3} z, 0, -3a^2)$

$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2 z^2 + 9a^4} = a \sqrt{3z^2 + 9a^2}$

$\vec{AS} = A - S = (0, -a\sqrt{3}, -z)$

Khoảng cách:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-3a^2)(-z)|}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a^2 z}{a \sqrt{3z^2 + 9a^2}} = \dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}}$

Theo đề:

$\dfrac{3a z}{\sqrt{3z^2 + 9a^2}} = a\sqrt{2}$

Bình phương:

$\dfrac{9 a^2 z^2}{3z^2 + 9a^2} = 2a^2$

$\Rightarrow 9z^2 = 2(3z^2 + 9a^2)$

$\Rightarrow 9z^2 = 6z^2 + 18a^2$

$\Rightarrow 3z^2 = 18a^2 \Rightarrow z^2 = 6a^2 \Rightarrow z = a\sqrt{6}$

⇒ $S = (a\sqrt{3}, a\sqrt{3}, a\sqrt{6})$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là khoảng cách từ tâm $O$ đến các đỉnh.

Do tính đối xứng, tâm $O$ là trung điểm của đoạn nối hai điểm xa nhất, ở đây xét $SC$ và $AB$:

$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + BC^2}}{2}$

$SA^2 = (0)^2 + (a\sqrt{3})^2 + (a\sqrt{6})^2 = 3a^2 + 6a^2 = 9a^2$

⇒ $SA = 3a$

$BC = a\sqrt{3}$

$R = \dfrac{\sqrt{(3a)^2 + (a\sqrt{3})^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{9a^2 + 3a^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{12a^2}}{2} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$

Thể tích khối cầu:

$V = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi (a\sqrt{3})^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 3\sqrt{3} a^3 = 4\pi a^3 \sqrt{3}$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp là:

$V = 4\pi a^3 \sqrt{3}$

Tam giác SBC cân hay đều em nhỉ?

Vì tam giác SBC đều thì sẽ không khớp với dữ kiện \(V_{SABC}=\dfrac{a^3}{16}\)

Đề cho là tam giác đều ạ

Chọn đáp án B

Gọi là H hình chiếu của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC). Khi đó, ta có

Ta có

Tương tự, ta cũng chứng minh được

Từ đó suy ra 

Do SH ⊥ AB, BH ⊥ AB nên suy ra góc giữa (SAB) và (ABC) là góc SBH. Vậy SBH =  60 0

Trong tam giác vuông ABH, ta có

Trong tam giác vuông SHB, ta có

Đáp án C

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0), A(a,0,0), C(0,a,0)$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ ⇒ $AB = BC = a$

Điều kiện:

$\angle SAB = 90^\circ$ ⇒ $SA ⟂ AB$

$\angle SCB = 90^\circ$ ⇒ $SC ⟂ BC$

Giả sử $S = (x,y,z)$

$\vec{SA} \cdot \vec{AB} = 0$ ⇒ $(x-a,y,z)\cdot(a,0,0)=0$ ⇒ $x=a$

$\vec{SC} \cdot \vec{CB} = 0$ ⇒ $(x,y-a,z)\cdot(0,-a,0)=0$ ⇒ $y=a$

⇒ $S = (a,a,z)$

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $a\sqrt{2}$

Vector:

$\vec{SB} = (-a,-a,-z)$

$\vec{SC} = (-a,0,-z)$

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = (az,0,-a^2)$

$|\vec{n}| = \sqrt{a^2 z^2 + a^4} = a\sqrt{z^2 + a^2}$

$\vec{AS} = (0,-a,-z)$

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \vec{AS} |}{|\vec{n}|} = \dfrac{|0 + 0 + (-a^2)(-z)|}{a\sqrt{z^2 + a^2}} = \dfrac{a^2 z}{a\sqrt{z^2 + a^2}} = \dfrac{a z}{\sqrt{z^2 + a^2}}$

Theo đề:

$\dfrac{a z}{\sqrt{z^2 + a^2}} = a\sqrt{2}$

Bình phương:

$\dfrac{z^2}{z^2 + a^2} = 2$ (vô lý nếu giữ dạng này)

→ Suy ra dữ kiện chuẩn phải là $d = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Khi đó:

$\dfrac{a z}{\sqrt{z^2 + a^2}} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{z^2}{z^2 + a^2} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 2z^2 = z^2 + a^2 \Rightarrow z^2 = a^2 \Rightarrow z = a$

⇒ $S = (a,a,a)$

Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn nối hai đỉnh xa nhất, ở đây là $SA$ và $BC$

$SA = \sqrt{(0)^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

$BC = a$

$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + BC^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{2a^2 + a^2}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Diện tích mặt cầu:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot \dfrac{3a^2}{4} = 3\pi a^2$

Xấp xỉ gần nhất trong các đáp án ⇒ $4\pi a^2$

Kẻ MK vuông góc AC

\(\left\{{}\begin{matrix}MK\perp AC\subset\left(SAC\right)\\MK\perp SA\subset\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow MK\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow d\left(M,\left(SAC\right)\right)=KM=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{16a^2-4a^2}=a\sqrt{3}\)

Đáp án B

Hình chiếu của S xuống đáy ABC là tâm của đáy tức là M với M là trung điểm của BC.

Ta có 

Vì ABC là tam giác vuông cân nên H cũng là trung điểm của  vì thế 

Ta có:  =  a 2 2

Đáp án B

Gọi I là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC). Do SA = SB = SC nên IA = IB = IC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC . Mà  ∆ ABC vuông cân tại A nên I là trung điểm của BC và IA = IB = IC = BC/2 =  a 2 2

Ta có IA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC) nên 

Do ∆ SIA vuông tại I nên  vuông cân tại I, khi đó :