Đáp án A

\(BC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

\(SB=\sqrt{SC^2+BC^2}=a\sqrt{3}\) ; \(SA=\sqrt{SC^2+AC^2}=a\sqrt{2}\)

\(V_{SBAC}=\dfrac{1}{3}SC.\dfrac{1}{2}AB^2=\dfrac{a^3}{6}\)

\(\dfrac{V_{SCEF}}{V_{SABC}}=\dfrac{SF}{SB}.\dfrac{SE}{SA}=\left(\dfrac{SC}{SB}\right)^2\left(\dfrac{SC}{SA}\right)^2=\left(\dfrac{a}{a\sqrt{3}}\right)^2.\left(\dfrac{a}{a\sqrt{2}}\right)^2=\dfrac{1}{6}\)

\(\Rightarrow V_{SCEF}=\dfrac{1}{6}.\dfrac{a^3}{6}=\dfrac{a^3}{36}\)

Kết quả không có a³/18

Chỉ có là A)a³/6.  B)a³/16

C)a³/26.     D)a³/36 thôi ạ

Chọn A

Đáp án B

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$
$\Rightarrow AB \perp BC$, $AB = a$.

$SA \perp (ABC)$
$\Rightarrow SA$ là chiều cao của khối chóp.

$SB$ tạo với mặt đáy góc $45^\circ$
$\Rightarrow \sin 45^\circ = \dfrac{SA}{SB}$
$\Rightarrow SA = \dfrac{\sqrt{2}}{2}SB$
$\Rightarrow SB = \sqrt{2},SA$

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$:

$SB^2 = SA^2 + AB^2$

$(\sqrt{2}SA)^2 = SA^2 + a^2$
$2SA^2 = SA^2 + a^2$
$\Rightarrow SA^2 = a^2$
$\Rightarrow SA = a$

Diện tích đáy:

$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC$

Vì tam giác vuông tại $B$, $AB = BC = a$

$\Rightarrow S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{\triangle ABC} \cdot SA$

$= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}a^2 \cdot a = \dfrac{a^3}{6}$

Viết dưới dạng $a^3\sqrt{3}$:

$\dfrac{a^3}{6} = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}$

Chọn D

Đáp án B

Giả sử $AB = AC = a$ $(a>0)$.
Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên
$S_{ABC} = \dfrac12 AB\cdot AC = \dfrac{a^2}{2}$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên thể tích khối chóp là
$V = \dfrac13 S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{a^2 SA}{6}$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ là $d = 3$.

Ta có công thức thể tích theo mặt $(SBC)$:
$V = \dfrac13 S_{SBC}\cdot d = \dfrac13 S_{SBC}\cdot 3 = S_{SBC}$.

Suy ra: $V = S_{SBC}$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\alpha$.
Do $BC \subset (ABC)$ nên:

$\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{S_{SBC}}$.

Thay $S_{SBC} = V$ ta được:
$\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{V}$.

Thay $S_{ABC} = \dfrac{a^2}{2}$ và $V = \dfrac{a^2 SA}{6}$:

$\cos\alpha = \dfrac{\dfrac{a^2}{2}}{\dfrac{a^2 SA}{6}} = \dfrac{3}{SA}$.

Do $\cos\alpha \le 1$ nên
$\dfrac{3}{SA} \le 1 \Rightarrow SA \ge 3$.

Mặt khác, thể tích $V = \dfrac{a^2 SA}{6}$ nhỏ nhất khi $SA$ nhỏ nhất, suy ra $SA_{\min} = 3$.

Thay vào công thức cosin: $\cos\alpha = \dfrac{3}{SA} = \dfrac{3}{3} = 1$.

Vậy ...

Ta có hình chóp $S.ABC$ với $SA \perp (ABC)$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$.

Diện tích tam giác $ABC$ là
$S_{ABC} = \dfrac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin120^\circ$
$S_{ABC} = \dfrac12 \cdot a \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac13 \cdot S_{ABC} \cdot SA$

Theo đề bài: $\dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot SA = \dfrac{3a^3}{24}$

=> $\dfrac{a^2\sqrt3}{12} \cdot SA = \dfrac{a^3}{8}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{3a}{2\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Trong tam giác $ABC$ ta có:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos120^\circ$

$BC^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 \Rightarrow BC = a\sqrt3$

Do $SA \perp (ABC)$ nên:
$S_{SBC} = \dfrac12 \cdot BC \cdot SA$

$S_{SBC} = \dfrac12 \cdot a\sqrt3 \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$, ta có:
$V = \dfrac13 \cdot S_{SBC} \cdot d$

=> $d = \dfrac{3V}{S_{SBC}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{3a^3}{24}}{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{a}{2}$

Vậy $d = \dfrac{a}{2}$. Chọn D.

Đáp án D

Đặt: $AB=BC=a$

Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên: $AC=a\sqrt2$

Do $SA\perp(ABC)$ nên $SA$ là chiều cao.

Góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ chính là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến $BC$.

Trong mặt phẳng đáy: $AB\perp BC$

Trong mặt phẳng $(SBC)$: $SB\perp BC$

⇒ $\widehat{(ABC),(SBC)}=\widehat{ABS}=60^\circ$

Xét tam giác vuông $SAB$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AB}$

$\sqrt3=\dfrac{SA}{a}$

⇒ $SA=a\sqrt3$

Thể tích khối chóp:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$S_{ABC}=\dfrac12 a^2$

⇒ $V=\dfrac13\cdot\dfrac12 a^2\cdot a\sqrt3 =\dfrac{a^3\sqrt3}{6}$

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\dfrac{2V}{AB\cdot SC}$

Ta có: $SC=\sqrt{SA^2+AC^2} =\sqrt{3a^2+2a^2} =a\sqrt5$

Suy ra: $d=\dfrac{2\cdot\dfrac{a^3\sqrt3}{6}}{a\cdot a\sqrt5} =\dfrac{a\sqrt3}{3\sqrt5} =\dfrac{a\sqrt{15}}{15}$