Đáp án B

Ta có: A C = 5 a , dựng  S H ⊥ B C ⇒ S H ⊥ S B C

Khi đó: S H = S B sin 30 ∘ = a 3 ; H B = S B c os 30 ∘ = 3 a  

Suy ra B C = 4 H C ⇒ d B ; S A C = d H ; S A C  

d B ; A C = 4 d H ; A C ⇒ d H ; A C = H E = 3 a 5 .  

Khi đó H F = S H . H E S H 2 + H E 2 = 3 a 7 14 ⇒ d B = 6 a 7 7 .  

Đáp án A

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0),\ C(0,2a,0)$.

Vì $SA\perp(ABC)$ và $SA=3a$ nên:

$S(a,0,3a)$.

Ta có:

$\vec{AC}=(-a,2a,0),\ \vec{AS}=(0,0,3a)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$ là:

$\vec n_1=\vec{AC}\times\vec{AS}=(6a^2,3a^2,0)$.

Suy ra có thể lấy:

$\vec n_1=(2,1,0)$.

Trong mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{BC}=(0,2a,0),\ \vec{BS}=(a,0,3a)$.

Vectơ pháp tuyến là:

$\vec n_2=\vec{BC}\times\vec{BS}=(6a^2,0,-2a^2)$.

Suy ra: $\vec n_2=(3,0,-1)$.

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến nên:

$\cos\alpha=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}=\dfrac{|2\cdot3+1\cdot0+0\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2+1^2}\sqrt{3^2+(-1)^2}}=\dfrac{6}{\sqrt5\sqrt10}=\dfrac{6}{5\sqrt2}$.

Suy ra: $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{36}{50}}=\sqrt{\dfrac{14}{50}}=\dfrac{\sqrt7}{5}$.

Vậy:

$\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt7}{5}}$.

Chọn đáp án D.

Đáp án D

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC   . Vì Δ A B C cân tại A nên  A M ⊥ B C   ,

Ta có A M ⊥ B C S M ⊥ B C S B C ∩ A B C = B C

->Góc giữa S B C và A B C là góc S M A  Vì góc  S A M = 90 0

Có B M = a , góc  B A M = 60 0   nên 

sin B A M = B M A B ⇒ A B = 2 a 3 ⇒ S Δ A B C = 1 2 A B . A C . sin 120 0 = a 2 3 3

tan B A M = B M A M ⇒ A M = a 3 ⇒ tan S M A = S A A M ⇒ S A = a 3

V S . A B C D = 1 3 . a 3 . a 2 3 3 = a 3 9

Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ nên:

$S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó trong tam giác đều $ABC$:

$AM \perp BC$

và:

$AM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

Vì $SA \perp (ABC)$ nên:

$SA \perp BC$.

Suy ra mặt phẳng $(SAM)$ vuông góc với $BC$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với $BC$ trong hai mặt phẳng đó, tức là:

$\widehat{SMA}=60^\circ$.

Xét tam giác vuông $SAM$ tại $A$:

$\tan 60^\circ=\dfrac{SA}{AM}$

$\Rightarrow \sqrt3=\dfrac{SA}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}$

$\Rightarrow SA=\dfrac{3a}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

$V=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SA$

$=\dfrac13\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{3a}{2}$

$=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Vậy: $V=\dfrac{a^3\sqrt3}{8}$.

Chọn đáp án A.