Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
S B = a 2 + b 2 = a 2 A C 2 = a 2 + 3 a 2 = 4 a 2 ⇒ S C = a 2 + 4 a 2 = a 5 S K = S A 2 S B = a 2 a 2 = a 2 S H = S A 2 S C = a 2 a 5 = a 5 V S . A H K V S . A B C = S K . S H S B . S C = 1 2 . 1 5 = 1 10 ⇒ V S . A H K = 1 10 V S . A B C = 1 60 S A . B A . B C = 1 60 3 a 3
Đáp án cần chọn là C
Ta có A K ⊥ S C A K ⊥ α A K ⊥ B C B C ⊥ S A B
Suy ra A K ⊥ S B C ⇒ A K ⊥ S B .
Vì ∆ S A B vuông cân tại A nên K là trung điểm của SB. Ta có
V S . A H K V S . A B C = S A . S K . S H S A . S B . S C = S H 2 S C
Ta có
A V = A B 2 + B C 2 = 2 a S V = A C 2 + S A 2 = a 5 .
Khi đó S H S C = S H . S C S C 2 = S A 2 S C 2 = 1 5
Suy ra V S . A H K V S . A B C = S H 2 S C = 1 10
Mặt khác V S . A B C = 1 3 S A . 1 2 A B . B C = a 3 3 6 Vậy V S . A H K = a 3 3 60
Đáp án C
Chọn B.
Phương pháp:
+ Gọi H là trung điểm BC. Ta chứng minh A H ⊥ A B C và AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác
SBC
+ Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S. ABC là giao của AH và đường trung trực cạnh AB.
+ Chỉ ra tam giác SBC vuông tại S từ đó tính SC theo định lý Pytago.
Cách giải:
Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên giao tuyến là $BC$ và:
$SA = SB = a \Rightarrow S$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $AB$
Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$)
Vì $SA = SB = a$ ⇒ $S$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AB$ ⇒ $x = \dfrac{a}{2}$
Đặt: $S\left(\dfrac{a}{2},\ y,\ z\right)$
Do $(SBC) \perp (ABC)$ ⇒ pháp tuyến $(SBC)$ vuông góc $(0,0,1)$
⇒ $\vec{SB} \times \vec{SC}$ không có thành phần $z$
Sau khi tính toán suy ra:
$y = \dfrac{a}{2}$
Từ $SA = a$:
$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2 = a^2$
$\Rightarrow z^2 = \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow z = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Suy ra:
$S\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do tính đối xứng:
$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ t\right)$
Vì $R = a$ nên:
$OA^2 = a^2$
$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + t^2 = a^2$
$\Rightarrow t^2 = \dfrac{a^2}{2}$
Lại có:
$OS^2 = a^2$
$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}} - t\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}$
⇒ suy ra $t = 0$
Vậy tâm:
$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ 0\right)$
Tính $SC$:
$\vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ -\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$
$SC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{2} = a^2$
Suy ra:
$\boxed{SC = a}$
Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$ nên:
$AB = BC = a \Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{1}{2}a^2$.
Vì $(SAC)\perp(ABC)$ nên hình chiếu $H$ của $S$ lên $(ABC)$ thuộc $AC$.
Tam giác $SAC$ cân tại $S$ nên $SH \perp AC$ tại trung điểm $H$ của $AC$.
Suy ra: $AC = a\sqrt2 \Rightarrow AH = HC = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.
Trong tam giác vuông cân $ABC$:
$BH = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.
Xét góc giữa $SB$ và $(ABC)$:
$\tan 45^\circ = \dfrac{SH}{BH} \Rightarrow 1 = \dfrac{SH}{\dfrac{a\sqrt2}{2}} \Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt2}{2}$.
Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac13 S_{ABC} \cdot SH= \dfrac13 \cdot \dfrac{a^2}{2} \cdot \dfrac{a\sqrt2}{2}= \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$.
Vậy $V = \dfrac{a^3\sqrt2}{12}$.
Chọn đáp án C.
Đáp án C
A C = A B 2 + B C 2 = a 2 + 3 a 2 = 2 a
S C = S A 2 + A C 2 = a 2 + 4 a 2 = a 5
S H = S A 2 S C = a 2 a 5 = a 5
S B = S A 2 + A B 2 = a 2 + a 2 = a 2
Δ S H K ~ Δ S B C ⇒ S H S B = S K S C ⇒ S K = S H . S C S B = a . a 5 5 . a 2 = a 2
⇒ V S . A H K V S . A B C = S H S C S K S B = a 5 a 5 a 2 a 2 = 1 10 ⇒ V S . A H K = 1 10 V S . A B C = 1 3 S A . d t A B C = 1 10 . 1 3 a . 1 2 a . a 3 = a 3 3 60
Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên giao tuyến là $BC$ và:
$SA = SB = a \Rightarrow S$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $AB$
Đặt hệ tọa độ:
$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$)
Vì $SA = SB = a$ ⇒ $S$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AB$ ⇒ $x = \dfrac{a}{2}$
Đặt: $S\left(\dfrac{a}{2},\ y,\ z\right)$
Do $(SBC) \perp (ABC)$ ⇒ pháp tuyến $(SBC)$ vuông góc $(0,0,1)$
⇒ $\vec{SB} \times \vec{SC}$ không có thành phần $z$
Sau khi tính toán suy ra:
$y = \dfrac{a}{2}$
Từ $SA = a$:
$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2 = a^2$
$\Rightarrow z^2 = \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow z = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$
Suy ra:
$S\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$
Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do tính đối xứng:
$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ t\right)$
Vì $R = a$ nên:
$OA^2 = a^2$
$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + t^2 = a^2$
$\Rightarrow t^2 = \dfrac{a^2}{2}$
Lại có:
$OS^2 = a^2$
$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}} - t\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}$
⇒ suy ra $t = 0$
Vậy tâm:
$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ 0\right)$
Tính $SC$:
$\vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ -\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$
$SC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{2} = a^2$
Suy ra:
$\boxed{SC = a}$
Chọn C.
Đáp án D.