Đáp án là C

Đáp án B

Dựng hình vuông ABCH

Ta có: A B ⊥ A H A B ⊥ S A ⇒ A B ⊥ S H , tương tự  B C ⊥ S H

Do đó S H ⊥ A B C  

Lại có  A H / / B C ⇒ d A ; S B C = d H ; S B C

Dựng H K ⊥ S C ⇒ d H ; S B C − H K = a 2  

Do đó 1 S H 2 = 1 H K 2 − 1 H C 2 ⇒ S H = a 6 .  

Tứ giác ABCH nội tiếp nên R S . A B C = R S . A B C H = S H 2 4 + r 2 d  

= S H 2 4 + A C 2 2 = a 3 ⇒ S = 4 π R 2 = 12 π a 2 .  

Đáp án C

Dựng hình vuông ABCH

Ta có A B ⊥ A H A B ⊥ S A ⇒ A B ⊥ S H , tương tự B C ⊥ S H

Do đó S H ⊥ A B C

Lại có   A H / / B C ⇒ d A ; S B C = d H ; S B C

Dựng H K ⊥ S C ⇒ d H ; S B C = H K = a 2

Do đó 1 S H 2 = 1 H K 2 − 1 H C 2 ⇒ S H = a 30 5

Tứ giác ABCH nội tiếp nên  R S . A B C = R S . A B C H = S H 2 4 + r d 2

= S H 2 4 + A C 2 2 = a 2 ⇒ S = 4 π R 2 = 8 π a 2

Đáp án D

Gọi K là trung điểm của BC.

 nên dễ dàng nhận thấy trung điểm I của SB là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC.

Gọi M là trung điểm của AC. Tam giác ABC vuông tại B, ta có MA = MB = MC. 

mặt khác IA = IB = IC, do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay IM ⊥ (ABC)

Xét tam giác vuông IMA ta có

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC là

Chọn B

Đáp án A

Gọi K là trung điểm của BC.

Do SAB ^ = SCB ^ = 90 o nên dễ dàng nhận thấy trung điểm I của SB là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC.

Gọi M là trung điểm của AC.

Tam giác ABC vuông tại B, ta có  MA = MB = MC , mặt khác IA = IB = IC , do đó IM là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC hay IM ⊥ ABC

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC ta có:  A H ⊥ B C     Do  A B C ⊥ S B C ⇒ A H ⊥ S B C

Đặt  A H = x ⇒ H C = a 2 − x 2 = H B = S H ⇒ Δ S B C

 vuông tại S (do đường trùng tuyến bằng  cạnh đối diện). Suy ra B C = S B 2 + S C 2 = a 3 .  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  Δ A B C ⇒ O ∈ A H ⇒ O A = O B = O C = OS   .Ta có:  R = R A B C = A C 2 sin B ,    trong đó   sin B = A H A B = A   S 2 − S H 2 A B = 1 2 Do đó  R C = a ⇒ S x q = 4 π R 2 C = 4 π a 2 .

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a\sqrt3,0,0)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ và:

$AB = AC = a$

nên:

$A\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac a2,0\right)$

Do $(SBC) \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(x,0,z)$

Ta có:

$SB = a,\ SC = a\sqrt2$

nên:

$\begin{cases} x^2+z^2=a^2 \ (x-a\sqrt3)^2+z^2=2a^2 \end{cases}$

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:

$3a^2-2a\sqrt3,x=a^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a{\sqrt3}$

Suy ra:

$z^2=a^2-\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{2a^2}{3}$

$\Rightarrow z=a\sqrt{\dfrac23}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta tính bán kính:

Do đối xứng suy ra:

$O\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac a2,0\right)$

Khi đó:

$\begin{aligned} R^2&=OB^2\ &=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2\ &=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}=a^2 \end{aligned}$

$\Rightarrow R=a$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi a^2$

Chọn B.

Phương pháp:

+ Gọi H là trung điểm BC. Ta chứng minh A H ⊥ A B C  và AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

SBC 

+ Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S. ABC là giao của AH và đường trung trực cạnh AB.

+ Chỉ ra tam giác SBC vuông tại S từ đó tính SC theo định lý Pytago. 

Cách giải:

Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên giao tuyến là $BC$ và:

$SA = SB = a \Rightarrow S$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $AB$

Đặt hệ tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$)

Vì $SA = SB = a$ ⇒ $S$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AB$ ⇒ $x = \dfrac{a}{2}$

Đặt: $S\left(\dfrac{a}{2},\ y,\ z\right)$

Do $(SBC) \perp (ABC)$ ⇒ pháp tuyến $(SBC)$ vuông góc $(0,0,1)$

⇒ $\vec{SB} \times \vec{SC}$ không có thành phần $z$

Sau khi tính toán suy ra:

$y = \dfrac{a}{2}$

Từ $SA = a$:

$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2 = a^2$

$\Rightarrow z^2 = \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow z = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Suy ra:

$S\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do tính đối xứng:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ t\right)$

Vì $R = a$ nên:

$OA^2 = a^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + t^2 = a^2$

$\Rightarrow t^2 = \dfrac{a^2}{2}$

Lại có:

$OS^2 = a^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}} - t\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}$

⇒ suy ra $t = 0$

Vậy tâm:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ 0\right)$

Tính $SC$:

$\vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ -\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$

$SC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{2} = a^2$

Suy ra:

$\boxed{SC = a}$

Đáp án B