Chọn B.

Phương pháp:

+ Gọi H là trung điểm BC. Ta chứng minh A H ⊥ A B C  và AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác

SBC 

+ Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S. ABC là giao của AH và đường trung trực cạnh AB.

+ Chỉ ra tam giác SBC vuông tại S từ đó tính SC theo định lý Pytago. 

Cách giải:

Vì $(SBC) \perp (ABC)$ nên giao tuyến là $BC$ và:

$SA = SB = a \Rightarrow S$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $AB$

Đặt hệ tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a,0)$ (tam giác cân tại $A$ với $AB = AC = a$)

Vì $SA = SB = a$ ⇒ $S$ thuộc mặt phẳng trung trực của $AB$ ⇒ $x = \dfrac{a}{2}$

Đặt: $S\left(\dfrac{a}{2},\ y,\ z\right)$

Do $(SBC) \perp (ABC)$ ⇒ pháp tuyến $(SBC)$ vuông góc $(0,0,1)$

⇒ $\vec{SB} \times \vec{SC}$ không có thành phần $z$

Sau khi tính toán suy ra:

$y = \dfrac{a}{2}$

Từ $SA = a$:

$\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + z^2 = a^2$

$\Rightarrow z^2 = \dfrac{a^2}{2} \Rightarrow z = \dfrac{a}{\sqrt{2}}$

Suy ra:

$S\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp, do tính đối xứng:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ t\right)$

Vì $R = a$ nên:

$OA^2 = a^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + t^2 = a^2$

$\Rightarrow t^2 = \dfrac{a^2}{2}$

Lại có:

$OS^2 = a^2$

$\Rightarrow \left(\dfrac{a}{\sqrt{2}} - t\right)^2 = \dfrac{a^2}{2}$

⇒ suy ra $t = 0$

Vậy tâm:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ 0\right)$

Tính $SC$:

$\vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2},\ -\dfrac{a}{\sqrt{2}}\right)$

$SC^2 = \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{2} = a^2$

Suy ra:

$\boxed{SC = a}$

Dựng tam giác đều IAB (I và C cùng phía bờ AB). Ta có ∠ I B C = 120 ° - 60 ° = 60 ° và IB=BC nên DIBC đều, IA=IB=IC=a

Qua I dựng đường thẳng song song với SA, cắt đường trung trực của SA tại O thì O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gọi M là trung điểm của SA.

Chọn hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ A(a,0,0)$

Vì $\widehat{ABC} = 120^\circ,\ BC = a$ nên:

$C\left(a\cos120^\circ,\ a\sin120^\circ,\ 0\right) = \left(-\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\ 0\right)$

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = 2a$ nên đặt:

$S(a,0,2a)$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp

Do $OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OB = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = \left(x + \dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + z^2$

Thay $x = \dfrac{a}{2}$ ⇒ $y = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$

Từ $OA = OS$:

$(x-a)^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + (z-2a)^2$

$\Rightarrow z = a$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a}{2\sqrt{3}},\ a\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(-\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + a^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{a^2}{12} + a^2 = \dfrac{4a^2}{3}$

Suy ra:

$R = \dfrac{2a}{\sqrt{3}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

Đáp án D

Gọi H là trung điểm của BC ta có:  A H ⊥ B C     Do  A B C ⊥ S B C ⇒ A H ⊥ S B C

Đặt  A H = x ⇒ H C = a 2 − x 2 = H B = S H ⇒ Δ S B C

 vuông tại S (do đường trùng tuyến bằng  cạnh đối diện). Suy ra B C = S B 2 + S C 2 = a 3 .  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp  Δ A B C ⇒ O ∈ A H ⇒ O A = O B = O C = OS   .Ta có:  R = R A B C = A C 2 sin B ,    trong đó   sin B = A H A B = A   S 2 − S H 2 A B = 1 2 Do đó  R C = a ⇒ S x q = 4 π R 2 C = 4 π a 2 .

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(0,0,0),\ C(a\sqrt3,0,0)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ và:

$AB = AC = a$

nên:

$A\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},\dfrac a2,0\right)$

Do $(SBC) \perp (ABC)$ nên đặt:

$S(x,0,z)$

Ta có:

$SB = a,\ SC = a\sqrt2$

nên:

$\begin{cases} x^2+z^2=a^2 \ (x-a\sqrt3)^2+z^2=2a^2 \end{cases}$

Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:

$3a^2-2a\sqrt3,x=a^2$

$\Rightarrow x=\dfrac a{\sqrt3}$

Suy ra:

$z^2=a^2-\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{2a^2}{3}$

$\Rightarrow z=a\sqrt{\dfrac23}$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Ta tính bán kính:

Do đối xứng suy ra:

$O\left(\dfrac{a\sqrt3}{2},-\dfrac a2,0\right)$

Khi đó:

$\begin{aligned} R^2&=OB^2\ &=\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac a2\right)^2\ &=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}=a^2 \end{aligned}$

$\Rightarrow R=a$

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi a^2$

Ta có S A ⊥ A B C A C ⊂ A B C

⇒ S A ⊥ A C

S A ⊥ A B C A B ⊥ B C

⇒ S B ⊥ B C . Tâm I của mặt cầu là trung điểm của cạnh huyền SC.

Bán kính: R = SI = S C 2

S A 2 + A C 2 2 = a 2 + a 2 + a 2 2 = a 3 2

Đáp án D

Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên:

$AB = BC = a,\ \widehat{ABC} = 90^\circ$

Vì $SA \perp (ABC)$ và $SA = a$ nên tam giác $SAB$ vuông tại $A$:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt{2}$

Xét tứ diện $S.ABC$:

Ta có các cạnh xuất phát từ $B$:

$BA = BC = a,\ BS = a\sqrt{2}$

và:

$BA \perp BC,\ BA \perp BS,\ BC \perp BS$

⇒ Đây là tứ diện vuông tại $B$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông:

$R = \dfrac{1}{2}\sqrt{BA^2 + BC^2 + BS^2}$

Thay vào:

$R = \dfrac{1}{2}\sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{4a^2} = a$

Đáp án C.

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) thì mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2 . Với giả thiết của bài toán, ta có r = a 6 2 .

Phân tích phương án nhiễu:

Phương án A: Sai do HS nhớ đúng công thức tính r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2  nhưng lại biến đổi nhầm x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z .

Phương án B: Sai do HS có thể gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp (A trùng với O và B, C, S lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz) và nhầm rằng tâm của mặt cầu chính là trọng tâm G a 3 ; a 2 3 ; a 3 3  của tam giác ABC nên tính được r = O G = a 6 3 .

Phương án D: Sai do HS nhớ nhầm công thức r = 1 2 . S A 2 + A B 2 + A C 2  thành r = S A 2 + A B 2 + A C 2 .

Chọn hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ C(0,a\sqrt{2},0)$ (tam giác vuông tại $A$)

Vì $SA \perp (ABC),\ SA = a\sqrt{3}$ nên đặt:

$S(0,0,a\sqrt{3})$

Gọi $O(x,y,z)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp ⇒

$OA = OB = OC = OS$

Từ $OA = OB$:

$x^2 + y^2 + z^2 = (x-a)^2 + y^2 + z^2 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Từ $OA = OC$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - a\sqrt{2})^2 + z^2 \Rightarrow y = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Từ $OA = OS$:

$x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + y^2 + (z - a\sqrt{3})^2 \Rightarrow z = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra:

$O\left(\dfrac{a}{2},\ \dfrac{a\sqrt{2}}{2},\ \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)$

Bán kính:

$R^2 = OA^2 = \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$= \dfrac{a^2}{4} + \dfrac{2a^2}{4} + \dfrac{3a^2}{4} = \dfrac{6a^2}{4} = \dfrac{3a^2}{2}$

Suy ra:

$R = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Đáp án B

Gọi H là trung điểm B C ⇒ A H ⊥ B C → S B C ⊥ A B C A H ⊥ S H .

Xét hai tam giác vuông SHA và BHA có  H A  chung S A = B A = a ⇒ Δ S H A = Δ B H A   .

  ⇒ S H = B H = C H ⇒ Δ S B C vuông tại  S ⇒ R b = B H = B C 2   .

Dễ thấy 

G T = B C ⇒ R = R b 2 + R d 2 − G T 2 4 = B H 2 + R d 2 − B C 2 4 = R d = a

Xét tam giác ABC, có:

sin C = A B 2 R = 1 2 ⇒ cos C = 3 2 ⇒ B C = 2 H C = 2 A C . cos C = a 3

Trong tam giác vuông SBC, ta có  S C = B C 2 − S B 2 = a 2   .

Đặt hệ trục tọa độ:

$B(-m,0,0),\ C(m,0,0),\ A(0,h,0)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ và:

$AB=AC=a$

nên:

$m^2+h^2=a^2 \qquad (1)$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ nên đặt:

$S(x,0,z)$

Ta có:

$SB=SA=a$

nên:

$\begin{cases}(x+m)^2+z^2=a^2\ x^2+h^2+z^2=a^2\end{cases}$

Trừ hai phương trình:

$2mx+m^2=h^2$

Kết hợp với $(1)$ suy ra:

$2mx=a^2-2m^2 \qquad (2)$

Giả sử bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $a$.

Khi đó tồn tại điểm $O$ sao cho:

$OA=OB=OC=OS=a$

Từ điều kiện đối xứng theo $BC$, suy ra $O$ nằm trên mặt phẳng trung trực của $BC$, tức là:

$O(0,p,q)$

Từ: $OA=OB=a$ suy ra:

$p=\dfrac{h^2-m^2}{2h}$

Tiếp tục dùng điều kiện:

$OS=a$ thì hệ phương trình thu được không có nghiệm thực khác trường hợp suy biến.

Đáp án C

Gọi H là trung điểm  B C ⇒ A H ⊥ B C ⇒ A H ⊥ S H

Ta có Δ S H A = Δ B H A , Δ S B C  vuông tại  S ⇒ R b = B H = B C 2

R = R b 2 + R d 2 − B C 2 4 = a

Xét   Δ A B C có 

sin C = A B 2 R = 1 2 ⇒ cos C = 3 2 ⇒ B C = 2 H C = a 3

Ta có trong tam giác vuông  S B C : S C = B C 2 − S B 2 = a 2

Đặt hệ trục tọa độ sao cho:

$B(-m,0,0),\ C(m,0,0),\ A(0,h,0)$

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ và:

$AB=AC=a$

nên:

$m^2+h^2=a^2 \qquad (1)$

Do $(SBC)\perp(ABC)$ và giao tuyến là $BC$ nên đặt:

$S(x,0,z)$

Ta có:

$SB=SA=a$

nên:

$\begin{cases} (x+m)^2+z^2=a^2 \ x^2+h^2+z^2=a^2 \end{cases}$

Lấy hai phương trình trừ nhau:

$2mx+m^2=h^2$

Dùng $(1)$:

$2mx+m^2=a^2-m^2$

$\Rightarrow 2mx=a^2-2m^2$

Mặt khác:

$SC^2=(x-m)^2+z^2$

Từ các hệ thức trên suy ra:

$SC^2=3m^2 \qquad (2)$

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu ngoại tiếp. Theo giả thiết: $R=a$

Sau khi lập hệ tọa độ tâm mặt cầu và dùng điều kiện:

$OA=OB=OC=OS=a$ ta thu được:

$m^2=\dfrac{3a^2}{4}$

Thế vào $(2)$:

$SC^2=3\cdot\dfrac{3a^2}{4}=\dfrac{9a^2}{4}$

$\Rightarrow SC=\dfrac{3a}{2}$

Chọn D

Đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ nên:

$AB = AC = a \Rightarrow BC = a\sqrt2$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SBC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a)^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SC = a\sqrt5$.

Mặt khác: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 4a^2 + a^2 = 5a^2 \Rightarrow SB = a\sqrt5$.

Xét tam giác $SBC$:

$SB^2 + BC^2 = 5a^2 + 2a^2 = 7a^2 \ne SC^2$.

Xét tam giác $SAB$:

$SA \perp AB \Rightarrow \triangle SAB$ vuông tại $A$.

Xét tam giác $SAC$:

$SA \perp AC \Rightarrow \triangle SAC$ vuông tại $A$.

Do đó $A$ cách đều $S,B,C$ nên $A$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

Bán kính: $R = SA = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án B.

Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ nên:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + (a\sqrt3)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 \Rightarrow AC = 2a$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $A$, suy ra:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = (2a\sqrt3)^2 + (2a)^2 = 12a^2 + 4a^2 = 16a^2 \Rightarrow SC = 4a$.

Xét tam giác $SBC$: $SB^2 = SA^2 + AB^2 = 12a^2 + a^2 = 13a^2$,

$BC = a\sqrt3 \Rightarrow BC^2 = 3a^2$.

Ta có: $SB^2 + BC^2 = 13a^2 + 3a^2 = 16a^2 = SC^2$.

Suy ra $\triangle SBC$ vuông tại $B$, nên tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của $SC$.

Bán kính: $R = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{4a}{2} = 2a$.

Vậy $R = 2a$.

Chọn đáp án D.