Với: \(a+b+c=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(P=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\dfrac{-abc}{abc}=-1\)

Với \(a+b+c\ne0\) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{a-b+c}{b}=\dfrac{-a+b+c}{a}=\dfrac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2c\\a+c=2b\\b+c=2a\end{matrix}\right.\)

Khi đó: \(P=\dfrac{8abc}{abc}=8\)

TH1: Với \(a+b+c\ne0\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{a-b+c}{b}=\dfrac{-a+b+c}{a}=\dfrac{a+b-c+a-b+c-a+b+c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1\)=> a + b = 2c ; a + c = 2b và b + c = 2a

\(\Rightarrow P=\dfrac{2c.2a.2b}{abc}=\dfrac{8abc}{abc}=8\)

TH2: Với a + b + c = 0

=> a + b = -c ; a + c = -b và c + b = -a

\(\Rightarrow P=\dfrac{\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)}{abc}=-1\)

Vậy P = 8 hoặc P = -1

\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{a-b+c}{b}=\dfrac{-a+b+c}{a}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b-c}{c}+2=\dfrac{a-b+c}{b}+2=\dfrac{-a+b+c}{a}+2\\ \Rightarrow\dfrac{a+b+c}{c}=\dfrac{a+b+c}{b}=\dfrac{a+b+c}{a}\\ \)

Nếu a+b+c=0

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow P=\dfrac{\left(-c\right)\left(-a\right)\left(-b\right)}{abc}=\dfrac{-abc}{abc}=-1\)

Nếu a+b+c khác 0

\(\Rightarrow a=b=c\\ \Rightarrow P=\dfrac{\left(a+a\right)\left(a+a\right)\left(a+a\right)}{a.a.a}\\ =\dfrac{2a.2a.2a}{a.a.a}=8\)