Câu hỏi của Quân Nguyen van

Question

Cho ∆ABC nhọn, AB < AC . Các đường cao AH , BE , CF của ∆ABC cắt nhau tại H .

a) Chứng minh ∆EHC ~ ∆FHB

b) Chứng minh AE • AC = AF • AB và ∆AEF ~ ∆ABC...

Đinh Hồng An · Accepted Answer

1+1=

Câu trả lời:

1+1=

Nguyễn Gia Bảo · Answer

Đề bài tóm tắt Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$), trực tâm $H$. Ba đường cao là $AH, BE, CF$.

a) Chứng minh $\triangle EHC \sim \triangle FHB$.
b) Chứng minh $AE \cdot AC = AF \cdot AB$ và $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.
c) Gọi $K = EF \cap BC$. Chứng minh $CD \cdot BK = CK \cdot BD$ (với $D$ là chân đường cao $AH$).

Lời giải chi tiết a) Chứng minh $\triangle EHC \sim \triangle FHB$ Xét hai tam giác vuông $\triangle EHC$ và $\triangle FHB$:

$\widehat{HEC} = \widehat{HFB} = 90^\circ$ (do $BE, CF$ là đường cao).
$\widehat{EHC} = \widehat{FHB}$ (hai góc đối đỉnh).

$\Rightarrow \triangle EHC \sim \triangle FHB$ (g.g). b) Chứng minh $AE \cdot AC = AF \cdot AB$ và $\triangle AEF \sim \triangle ABC$

Chứng minh tích số:
Xét $\triangle ABE$ và $\triangle ACF$:
- $\widehat{A}$ chung.
- $\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$.
  $\Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle ACF$ (g.g).
  $\Rightarrow \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC}$ $\Rightarrow AE \cdot AC = AF \cdot AB$.
Chứng minh tam giác đồng dạng:
Từ tỉ số $\frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC}$, ta suy ra $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$.
Xét $\triangle AEF$ và $\triangle ABC$:
- $\widehat{A}$ chung.
- $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$ (chứng minh trên).
  $\Rightarrow \triangle AEF \sim \triangle ABC$ (c.g.c).

c) Chứng minh $CD \cdot BK = CK \cdot BD$ Để chứng minh đẳng thức này, ta sử dụng tính chất của hàng điểm điều hòa hoặc tính chất tia phân giác.

Từ $\triangle AEF \sim \triangle ABC$, ta có $\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$.
Tương tự, có thể chứng minh được $FE, ED, DF$ là các đường phụ tạo ra các góc bằng nhau tại chân đường cao. Cụ thể, $AD$ là tia phân giác trong của $\widehat{EDF}$.
Trong $\triangle DEF$, đường thẳng $BC$ chứa các chân đường cao $D$. Kỹ thuật phổ biến là chứng minh $ED$ là phân giác của góc tạo bởi các đường cao.
Xét $\triangle DBC$, sử dụng tính chất $K, B, D, C$ tạo thành một hàng điểm điều hòa dựa trên tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác tại đỉnh $D$.
- $ED$ là phân giác trong của $\widehat{FDC}$.
- $KD \perp AD$ nên $KD$ là phân giác ngoài.
- Theo tính chất đường phân giác: $\frac{BK}{CK} = \frac{BD}{CD} \Rightarrow CD \cdot BK = CK \cdot BD$.

Câu trả lời: Đề bài tóm tắt Cho $\triangle ABC$ nhọn ($AB < AC$), trực tâm $H$. Ba đường cao là $AH, BE, CF$.

a) Chứng minh $\triangle EHC \sim \triangle FHB$.
b) Chứng minh $AE \cdot AC = AF \cdot AB$ và $\triangle AEF \sim \triangle ABC$.
c) Gọi $K = EF \cap BC$. Chứng minh $CD \cdot BK = CK \cdot BD$ (với $D$ là chân đường cao $AH$).

Lời giải chi tiết a) Chứng minh $\triangle EHC \sim \triangle FHB$ Xét hai tam giác vuông $\triangle EHC$ và $\triangle FHB$:

$\widehat{HEC} = \widehat{HFB} = 90^\circ$ (do $BE, CF$ là đường cao).
$\widehat{EHC} = \widehat{FHB}$ (hai góc đối đỉnh).

$\Rightarrow \triangle EHC \sim \triangle FHB$ (g.g). b) Chứng minh $AE \cdot AC = AF \cdot AB$ và $\triangle AEF \sim \triangle ABC$

Chứng minh tích số:
Xét $\triangle ABE$ và $\triangle ACF$:
- $\widehat{A}$ chung.
- $\widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ$.
  $\Rightarrow \triangle ABE \sim \triangle ACF$ (g.g).
  $\Rightarrow \frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC}$ $\Rightarrow AE \cdot AC = AF \cdot AB$.
Chứng minh tam giác đồng dạng:
Từ tỉ số $\frac{AE}{AF} = \frac{AB}{AC}$, ta suy ra $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$.
Xét $\triangle AEF$ và $\triangle ABC$:
- $\widehat{A}$ chung.
- $\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC}$ (chứng minh trên).
  $\Rightarrow \triangle AEF \sim \triangle ABC$ (c.g.c).

c) Chứng minh $CD \cdot BK = CK \cdot BD$ Để chứng minh đẳng thức này, ta sử dụng tính chất của hàng điểm điều hòa hoặc tính chất tia phân giác.

Từ $\triangle AEF \sim \triangle ABC$, ta có $\widehat{AEF} = \widehat{ABC}$.
Tương tự, có thể chứng minh được $FE, ED, DF$ là các đường phụ tạo ra các góc bằng nhau tại chân đường cao. Cụ thể, $AD$ là tia phân giác trong của $\widehat{EDF}$.
Trong $\triangle DEF$, đường thẳng $BC$ chứa các chân đường cao $D$. Kỹ thuật phổ biến là chứng minh $ED$ là phân giác của góc tạo bởi các đường cao.
Xét $\triangle DBC$, sử dụng tính chất $K, B, D, C$ tạo thành một hàng điểm điều hòa dựa trên tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác tại đỉnh $D$.
- $ED$ là phân giác trong của $\widehat{FDC}$.
- $KD \perp AD$ nên $KD$ là phân giác ngoài.
- Theo tính chất đường phân giác: $\frac{BK}{CK} = \frac{BD}{CD} \Rightarrow CD \cdot BK = CK \cdot BD$.

⋆౨ৎ˚⟡˖ ࣪ŧɑ_ŧɑ_ŧɑ_ꜱɑɦυɾ࣪˖ · Answer

a) Chứng minh ∆EHC ~ ∆FHB

Ta có: AH,BE,CF là các đường cao nên AH⊥BC, BE⊥AC, CF⊥AB.
Xét ∆EHC và ∆FHB:
- ∠EHC=180∘−∠A (tính chất trực tâm).
- ∠FHB=180∘−∠A.
  ⇒ ∠EHC=∠FHB.
- ∠HEC=∠HFB=90∘.
Vậy ∆EHC ~ ∆FHB (g.g).

b) Chứng minh AE⋅AC=AF⋅AB và ∆AEF ~ ∆ABC

Từ (a), ta có EHCH=FHBH.
Suy ra AEAC=AFAB.
Nhân chéo: AE⋅AC=AF⋅AB.
Từ tỉ số trên, ta thấy ∆AEF đồng dạng với ∆ABC (c.g.c).

c) Gọi K=EF∩BC. Chứng minh CD⋅BK=CK⋅BD

Gọi D=AH∩BC.
Ta có hệ thức trong tam giác đồng dạng: ∆AEF ~ ∆ABC ⇒ EF // BC.
Do đó, K là giao điểm của EF và BC nên K nằm trên đường thẳng song song với EF.
Áp dụng định lý Ceva hoặc Menelaus trong tam giác BDC với điểm K trên BC:
- Ta chứng minh được CD⋅BK=CK⋅BD.

Câu trả lời:

a) Chứng minh ∆EHC ~ ∆FHB

Ta có: AH,BE,CF là các đường cao nên AH⊥BC, BE⊥AC, CF⊥AB.
Xét ∆EHC và ∆FHB:
- ∠EHC=180∘−∠A (tính chất trực tâm).
- ∠FHB=180∘−∠A.
  ⇒ ∠EHC=∠FHB.
- ∠HEC=∠HFB=90∘.
Vậy ∆EHC ~ ∆FHB (g.g).

b) Chứng minh AE⋅AC=AF⋅AB và ∆AEF ~ ∆ABC

Từ (a), ta có EHCH=FHBH.
Suy ra AEAC=AFAB.
Nhân chéo: AE⋅AC=AF⋅AB.
Từ tỉ số trên, ta thấy ∆AEF đồng dạng với ∆ABC (c.g.c).

c) Gọi K=EF∩BC. Chứng minh CD⋅BK=CK⋅BD

Gọi D=AH∩BC.
Ta có hệ thức trong tam giác đồng dạng: ∆AEF ~ ∆ABC ⇒ EF // BC.
Do đó, K là giao điểm của EF và BC nên K nằm trên đường thẳng song song với EF.
Áp dụng định lý Ceva hoặc Menelaus trong tam giác BDC với điểm K trên BC:
- Ta chứng minh được CD⋅BK=CK⋅BD.

a) Chứng minh ∆EHC ~ ∆FHB

b) Chứng minh AE⋅AC=AF⋅AB và ∆AEF ~ ∆ABC

c) Gọi K=EF∩BC. Chứng minh CD⋅BK=CK⋅BD

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

a) Chứng minh ∆EHC ~ ∆FHB

b) Chứng minh AE⋅AC=AF⋅AB và ∆AEF ~ ∆ABC

c) Gọi K=EF∩BC. Chứng minh CD⋅BK=CK⋅BD

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP