Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
Đề thi Olympic 30/4 Môn Toán 2018 lần thứ XXIV
Vài dòng đầu tớ chứng minh BĐT phụ bạn có thể làm trực tiếp luôn nhé ! Dùng phương pháp tiếp tuyến là OK thôi !
Ta dễ có các biến đổi sau:
\(\sqrt{a^2-a+1}\left(a^2+a+1\right)=\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(a^4+a^2+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left[\left(a^2+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]}\)
\(\ge\left(a^2+\frac{1}{2}\right)\left(a+\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}\)
\(=\frac{2a^3+a^2+a+2}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-a+1}\ge\frac{2a^3+a^2+a+2}{2\left(a^2+a+1\right)}=a-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2+a+1}\right)\)
Chứng minh tương tự ta có được các bất đẳng thức sau:
\(\sqrt{b^2-b+1}=b-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{b^2+b+1};\sqrt{c^2-c+1}=c-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{c^2+c+1}\)
Như vậy ta cần chứng minh \(\frac{1}{a^2+a+1}+\frac{1}{b^2+b+1}+\frac{1}{c^2+c+1}\ge1\) với abc = 1
Đây là BĐT Vacs quen thuộc !!!! Bạn làm câu hỏi của mình có câu trả lời của tth_new có dùng Vacs và mình đã làm rồi nha !!!!!
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{\frac{abc}{abc+a^2\left(a+b+c\right)}}=\sqrt{\frac{bc}{ac+a^2+ab+ac}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cô-si được
\(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}=\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
Thiết lập các bđt còn lại cho 2 số hạng còn lại rồi cộng vào được đpcm
ơ đang chờ mấy bạn top bxh vô trả lời mà hỏng thấy đou
hộ mình với:(
theo dirikle ta co \(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\)\(\rightarrow t=b+c-1\le bc=\frac{1}{a}\)
theo miinscopxki \(lhs\ge\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{t^2+3}\) khi do ta cm
\(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{t^2+3}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{t^2+3}-t\ge a+1\)
de trhay \(\sqrt{t^2+3}-t\) nghich bien ca khi \(t\ge 0\) va \(t\le 0\)\(\rightarrow f\left(t\right)\ge f\left(\frac{1}{a}\right)\)
khi do ta can cm \(\Leftrightarrow\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{\frac{1}{a^2}+3}-\frac{1}{a}\ge a+1\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) *qed*
tth thấy hay thì ngại gì tặng 1 gp đâu e :D
chỗ a bão to cmnr tắt máy đây bài m a xem sau tth
mấy ng tán tinh xong chưa :( tui vẫn chưa có gp à
bài này k khác j cho:abc=1
\(cm:\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge a+b+c\)đâu a
Quen sai r nha :((
bài này nhớ k nhầm ở trong quyển Rèn luyện tư duy công phá BĐT thì phải
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG giờ tui bận rồi, đêm nay có điều kiện thì tui solve cho :) bài này căng bình thường đấy :>
Ghe nhi :v
Tui thay bai nay quen quen ma nho k ra
thì ra là qua bên olm hỏi để qua bên này kiếm gp chứ giề -_-"
Ta tìm m lớn nhất để bđt sau đây đúng: \(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}\ge2\sqrt[4]{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)+m\left(a-b\right)^2}\)
Anh thử dùng cách này xem? Cần tìm m lớn nhất rồi đi chứng minh nó! Rồi sau đó dồn biến v..v.... em mới đọc một tài liệu trên mạng nên liên tưởng đến bài này thôi!
*Nháp: (tí em sẽ đăng bài giải nhé, giờ đang tìm m)
Đặt \(x=\sqrt[4]{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)+m\left(a-b\right)^2}+\sqrt[4]{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\);
\(y=\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)+m\left(a-b\right)^2}+\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\)
Để ý rằng, ta có đẳng thức sau:
\(\sqrt[4]{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)+m\left(a-b\right)^2}-\sqrt[4]{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\)
\(=\frac{m\left(a-b\right)^2}{xy}\). Do đó ta bớt ở cả hai vế bđt (cái bđt đó em để bên dưới:V)cho \(2\sqrt[4]{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\). Ta sẽ thu được:
\(\left(\sqrt[4]{a^2-a+1}-\sqrt[4]{b^2-b+1}\right)^2\ge\frac{2m\left(a-b\right)^2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b-1\right)^2}{\left(\sqrt[4]{a^2-a+1}+\sqrt[4]{b^2-b+1}\right)^2\left(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}\right)}\ge\frac{2m\left(a-b\right)^2}{xy}\)
Bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi
\(\frac{\left(a+b-1\right)^2}{\left(\sqrt[4]{a^2-a+1}+\sqrt[4]{b^2-b+1}\right)^2\left(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}\right)}\ge\frac{2m}{xy}\)
Bây giờ ta thay a = b = 1 vào sẽ được:
\(\frac{1}{16}\ge\frac{2m}{4}=\frac{m}{2}\Rightarrow m\le\frac{2}{16}=\frac{1}{8}\)
Nên m = 1/8. Do đó ta sẽ chứng minh bđt sau đây:
\(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}\ge2\sqrt[4]{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)+\frac{1}{8}\left(a-b\right)^2}\)
Rồi thực hiện dồn biến theo trung bình nhân gì đó .v.v.. (Tí em sẽ thử làm, cách này cũng hên xui thôi, nếu xui thì toàn bổ thời gian nãy giờ em bỏ ra để tìm m sẽ bị đổ vỡ:((
thôi chết, cách nãy sai rồi, sr nha!
tth 2 ae sai :vv
Dùng kĩ thuật ghép đối xứng, ta chứng minh bđt sau:
\(\sqrt{a^2-a+1}+\sqrt{b^2-b+1}\ge a+b\)
\(\Leftrightarrow\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a^2}+\frac{1-b}{\sqrt{b^2-b+1}+b^2}\ge0\)(*)
Trong ba số a, b, c thỏa mãn abc = 1 luôn tồn tại ít nhất 1 số \(\ge1\).
Không mất tính tổng quát, giả sử đó là c => \(ab\le1\).
Từ đó \(b\le\frac{1}{a}\). Do vậy,
\(VT_{\left(\circledast\right)}\ge\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a^2}+\frac{1-\frac{1}{a}}{\sqrt{\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+1}+\frac{1}{a}}\)
\(=\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a^2}-\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+1}\)
\(=\left(1-a\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a^2-a+1}+a^2}-\frac{1}{\sqrt{a^2-a+1}+1}\right)\)
\(=\frac{\left(1+a\right)\left(1-a\right)^2}{MS}\ge0\). Vậy BĐT (*) là đúng.
Thiết lập tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta có đpcm.
2th còn lại chứng minh thế nào?
inmylove ghép kiêu j? cái nào vs cái nào?
Bđt (*) theo T nghĩ là cái bđt ở dòng thu 2 nhe
Các bác god quá
cháu ko god đâu, bác mới god đấy chớ @@
DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG xin loi a :v
svtkvtm sao xin lỗi?
tth chưa tìm ra key :(
cho toi xin ten tai lieu voi
Truy kích đây ạ: Phương pháp dồn biến (thừa - trừ)
làm cho đến cùng đi cậu :)
cm 2 cái kia bạn giả sử tiếp b>=1,c>=1 ạ mình thấy giả sử a=b=c=1 rồi thay vào nó đúng luôn đó
tth:cậu có link nào khác ko tớ vào toàn bị lỗi
This site can’t be reached
yý tưởng hay mặc dù sai nhưng giúp mình mở mang tầm mắt