Câu hỏi của Alice Sophia

Question

Cho a,b,c duong thoa man a+b+c=3.Cm

(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3>=-3/4

Thắng Nguyễn · Accepted Answer

Ta có: $\left(a-1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1$

$=a\left(a^2-3a+3\right)-1=a\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}a-1\ge\frac{3}{4}a-1$

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

$\left(b-1\right)^3\ge\frac{3}{4}b-1;\left(c-1\right)^3\ge\frac{3}{4}c-1$

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

$VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-3=\frac{3}{4}\cdot3-3=-\frac{3}{4}$

Câu trả lời:

Ta có: $\left(a-1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1$

$=a\left(a^2-3a+3\right)-1=a\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}a-1\ge\frac{3}{4}a-1$

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

$\left(b-1\right)^3\ge\frac{3}{4}b-1;\left(c-1\right)^3\ge\frac{3}{4}c-1$

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

$VT\ge\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)-3=\frac{3}{4}\cdot3-3=-\frac{3}{4}$