Câu hỏi của ♥➴Hận đời FA➴♥

Question

Cho a,b,c > 0. Chứng minh: $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

Phạm Thế Mạnh · Accepted Answer

Ta có:$a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}\ge\sqrt{a\left(b+c\right)}$

$\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}$
Chứng minh tương tự rồi cộng vế với vế ta được:
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2$
Dấu "=" xảy ra khi $\hept{\begin{cases}a=b+c\b=c+a\c=a+b\end{cases}}$-> hệ vô nghiệm
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

Ta có đpcm

Câu trả lời:

Ta có:$a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}\ge\sqrt{a\left(b+c\right)}$

$\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}$
Chứng minh tương tự rồi cộng vế với vế ta được:
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2$
Dấu "=" xảy ra khi $\hept{\begin{cases}a=b+c\b=c+a\c=a+b\end{cases}}$-> hệ vô nghiệm
$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

Ta có đpcm

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP