câu c là n \(\in\) N nhe

c) A = 3⁰ + 3¹ + 3² + ...+ 3⁹⁹

3A = 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹⁰⁰

3A - A = (3 + 3² + 3³ + ...+ 3¹⁰⁰) - (3⁰  + 3¹ + 3² + ... + 3⁹⁹)

      2A = 3¹⁰⁰  - 3⁰ = 3¹⁰⁰ - 1

        A = (3¹⁰⁰ - 1) : 2

Vậy n = 99

a; A = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^99

Xét dãy số: 0; 1; 2;...; 99

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (99 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Vì 100 : 2 = 50

Nhóm hai số hạng liên tiếp A vào nhau ta được:

A = (2^0 + 2^1) + (2^2 + 2^3) + ... + (2^98 + 2^99)

A = (1 + 2) + 2^2.(1+2) + ... + 2^98.(1 + 2)

A = (1+2).(1+ 2^2 + ... + 2^98)

A = 3.(1 + 2^2 + ... + 2^98)

A ⋮ 3 (đpcm)

A = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ..+ 2^99

Vì A có 100 hạng tử(chứng minh ở câu a)

100 : 2 = 50

Nhóm hai hạng tử của vào nhau ta được:

A = (2^0 + 2^2) + (2^1 + 2^3) + ...+ (2^97 + 2^99)

A = (1 + 2^2) + 2.(1+ 2^2) + ...+ 2^97.(1 + 2^2)

A = (1 + 2^2).(1 + 2+... + 2^97)

A = 5.(1 + 2+... + 2^97) ⋮ 5(đpcm)

A Chia hết cho 5 
A = 2⁰ + 2¹ + 2² + ....+ 2⁹⁹
 => ( 2⁰ +2² ) +.....+ ( 2⁹⁷ + 2⁹⁹ ) 
=> 1 ( 1 + 4 ) + ... + 2⁹⁷ ( 1 + 4 ) 
1 . 5 +.....+ 2⁹⁷ . 5 
5 ( 1 + .... + 2⁹⁷ ) chia hết cho 5 

a; A = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^99

Xét dãy số: 0; 1; 2;...; 99

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (99 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Vì 100 : 2 = 50

Nhóm hai số hạng liên tiếp A vào nhau ta được:

A = (2^0 + 2^1) + (2^2 + 2^3) + ... + (2^98 + 2^99)

A = (1 + 2) + 2^2.(1+2) + ... + 2^98.(1 + 2)

A = (1+2).(1+ 2^2 + ... + 2^98)

A = 3.(1 + 2^2 + ... + 2^98)

A ⋮ 3 (đpcm)

a; A = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^99

Xét dãy số: 0; 1; 2;...; 99

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số số hạng của dãy số trên là: (99 - 1) : 1 + 1 = 100 (số hạng)

Vì 100 : 2 = 50

Nhóm hai số hạng liên tiếp A vào nhau ta được:

A = (2^0 + 2^1) + (2^2 + 2^3) + ... + (2^98 + 2^99)

A = (1 + 2) + 2^2.(1+2) + ... + 2^98.(1 + 2)

A = (1+2).(1+ 2^2 + ... + 2^98)

A = 3.(1 + 2^2 + ... + 2^98)

A ⋮ 3 (đpcm)

A = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ..+ 2^99

Vì A có 100 hạng tử(chứng minh ở câu a)

100 : 2 = 50

Nhóm hai hạng tử của vào nhau ta được:

A = (2^0 + 2^2) + (2^1 + 2^3) + ...+ (2^97 + 2^99)

A = (1 + 2^2) + 2.(1+ 2^2) + ...+ 2^97.(1 + 2^2)

A = (1 + 2^2).(1 + 2+... + 2^97)

A = 5.(1 + 2+... + 2^97) ⋮ 5(đpcm)

Câu 4:

A = 3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^99

3A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^100

3A - A = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^100 - (3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^99)

2A = 3^1+ 3^2 + 3^3 + ... + 3^100 - 3^0 - 3^1 - 3^2 -..- 3^99

2A = (3^1 - 3^1) + (3^2 - 3^2) + ..+(3^99-3^99) + (3^100 - 3^0)

2A = 0 + 0 + .. + 0 + 3^100 - 3^0

2A = 0 + 3^100 - 3^0

2A = 3^100 - 3^0

2A + 1 = 3^100 - 3^0 + 1

2A + 1 = 3^100 - (1 - 1)

2A + 1 = 3^100 - 0

2A + 1 = 3^100 - 0

2A + 1 = 3^100

Câu 5:

a chia hết cho 8 thì không thể dư 7

Vậy không có số nào thỏa mãn đề bài.

Câu a:

A = \(\overline{ab}\) + \(\overline{ba}\)

A = 10a + b + 10b + a

A = (10a + a) + (b + 10b)

A = 11a + 11b

A = 11(a + b) ⋮ 11 (đpcm)

Câu c:

A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2009 + 3^2010

3A = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2010 + 3^2011

3A - A = (3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2010 + 3^2011) - (1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2009 + 3^2010)

2A = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2010 + 3^2011 - 1 - 3 - 3^2-..-3^2010

2A = (3 - 3) + (3^2-3^2) + ...+(3^2010-3^2010) + (3^2011 - 1)

2A = 0 + 0 + ..+ 0 + 3^2011 - 1

2A = 3^2011 - 1

2A + 1 = 3^2011 - 1 + 1

2A + 1 = 3^2011 - (1 - 1)

2A + 1 = 3^2011 - 0

2A + 1 = 3^2011

2/

Nếu x = 0 thì 5^y = 2^0 + 624 = 1 + 624 = 625 = 5^4 =>y = 4 ( y \(\in\) N) 
Nếu x khác 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y \(\in\) N : vô lý
Vậy: x = 0, y = 4 

3/Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A 
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)