Câu hỏi của Đõ Bảo Trân

Question

Cho 3 số a,b và c >) thỏa mãn:$\frac{A+B-3C}{C}=\frac{B+C-3A}{A}=\frac{C+A-3B}{B}$

Duc Nguyen · Accepted Answer

Đây là một bài toán toán học. Với điều kiện a,b,c>0a comma b comma c is greater than 0𝑎,𝑏,𝑐>0, ta có thể giải bài toán bằng cách đặt giá trị chung của các phân số là kk𝑘. Bước 1: Đặt biểu thức bằng một hằng số kk𝑘 Đặt a+b−3cc=b+c−3aa=c+a−3bb=kthe fraction with numerator a plus b minus 3 c and denominator c end-fraction equals the fraction with numerator b plus c minus 3 a and denominator a end-fraction equals the fraction with numerator c plus a minus 3 b and denominator b end-fraction equals k𝑎+𝑏−3𝑐𝑐=𝑏+𝑐−3𝑎𝑎=𝑐+𝑎−3𝑏𝑏=𝑘. Từ đó, ta có hệ phương trình sau:

a+b−3c=kc⟹a+b=(k+3)ca plus b minus 3 c equals k c ⟹ a plus b equals open paren k plus 3 close paren c𝑎+𝑏−3𝑐=𝑘𝑐⟹𝑎+𝑏=(𝑘+3)𝑐
b+c−3a=ka⟹b+c=(k+3)ab plus c minus 3 a equals k a ⟹ b plus c equals open paren k plus 3 close paren a𝑏+𝑐−3𝑎=𝑘𝑎⟹𝑏+𝑐=(𝑘+3)𝑎
c+a−3b=kb⟹c+a=(k+3)bc plus a minus 3 b equals k b ⟹ c plus a equals open paren k plus 3 close paren b𝑐+𝑎−3𝑏=𝑘𝑏⟹𝑐+𝑎=(𝑘+3)𝑏

Bước 2: Tìm giá trị của kk𝑘 Cộng vế theo vế ba phương trình trên, ta được:
(a+b)+(b+c)+(c+a)=(k+3)c+(k+3)a+(k+3)bopen paren a plus b close paren plus open paren b plus c close paren plus open paren c plus a close paren equals open paren k plus 3 close paren c plus open paren k plus 3 close paren a plus open paren k plus 3 close paren b(𝑎+𝑏)+(𝑏+𝑐)+(𝑐+𝑎)=(𝑘+3)𝑐+(𝑘+3)𝑎+(𝑘+3)𝑏 2(a+b+c)=(k+3)(a+b+c)2 open paren a plus b plus c close paren equals open paren k plus 3 close paren open paren a plus b plus c close paren2(𝑎+𝑏+𝑐)=(𝑘+3)(𝑎+𝑏+𝑐) Vì a,b,c>0a comma b comma c is greater than 0𝑎,𝑏,𝑐>0 nên a+b+c>0a plus b plus c is greater than 0𝑎+𝑏+𝑐>0. Do đó, ta có thể chia cả hai vế cho (a+b+c)open paren a plus b plus c close paren(𝑎+𝑏+𝑐):
2=k+3⟹k=2−3=-12 equals k plus 3 ⟹ k equals 2 minus 3 equals negative 12=𝑘+3⟹𝑘=2−3=−1 Bước 3: Tìm mối quan hệ giữa a,b,ca comma b comma c𝑎,𝑏,𝑐 Thay giá trị k=-1k equals negative 1𝑘=−1 vào các phương trình ở Bước 1, ta được:

a+b=(-1+3)c⟹a+b=2ca plus b equals open paren negative 1 plus 3 close paren c ⟹ a plus b equals 2 c𝑎+𝑏=(−1+3)𝑐⟹𝑎+𝑏=2𝑐
b+c=(-1+3)a⟹b+c=2ab plus c equals open paren negative 1 plus 3 close paren a ⟹ b plus c equals 2 a𝑏+𝑐=(−1+3)𝑎⟹𝑏+𝑐=2𝑎
c+a=(-1+3)b⟹c+a=2bc plus a equals open paren negative 1 plus 3 close paren b ⟹ c plus a equals 2 b𝑐+𝑎=(−1+3)𝑏⟹𝑐+𝑎=2𝑏

Từ phương trình a+b=2ca plus b equals 2 c𝑎+𝑏=2𝑐, ta có a+b−c=ca plus b minus c equals c𝑎+𝑏−𝑐=𝑐.
Từ phương trình b+c=2ab plus c equals 2 a𝑏+𝑐=2𝑎, ta có b+c−a=ab plus c minus a equals a𝑏+𝑐−𝑎=𝑎.
Từ phương trình c+a=2bc plus a equals 2 b𝑐+𝑎=2𝑏, ta có c+a−b=bc plus a minus b equals b𝑐+𝑎−𝑏=𝑏. Để chứng minh a=b=ca equals b equals c𝑎=𝑏=𝑐, ta có thể lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1):
(b+c)−(a+b)=2a−2copen paren b plus c close paren minus open paren a plus b close paren equals 2 a minus 2 c(𝑏+𝑐)−(𝑎+𝑏)=2𝑎−2𝑐 c−a=2a−2cc minus a equals 2 a minus 2 c𝑐−𝑎=2𝑎−2𝑐 3c=3a⟹a=c3 c equals 3 a ⟹ a equals c3𝑐=3𝑎⟹𝑎=𝑐 Tương tự, lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (2):
(c+a)−(b+c)=2b−2aopen paren c plus a close paren minus open paren b plus c close paren equals 2 b minus 2 a(𝑐+𝑎)−(𝑏+𝑐)=2𝑏−2𝑎 a−b=2b−2aa minus b equals 2 b minus 2 a𝑎−𝑏=2𝑏−2𝑎 3a=3b⟹a=b3 a equals 3 b ⟹ a equals b3𝑎=3𝑏⟹𝑎=𝑏 Từ a=ca equals c𝑎=𝑐 và a=ba equals b𝑎=𝑏, ta suy ra a=b=ca equals b equals c𝑎=𝑏=𝑐.

Đáp án: Ba số a,b,ca comma b comma c𝑎,𝑏,𝑐 thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi a=b=ca equals b equals c𝑎=𝑏=𝑐.

Câu trả lời: Đây là một bài toán toán học. Với điều kiện a,b,c>0a comma b comma c is greater than 0𝑎,𝑏,𝑐>0, ta có thể giải bài toán bằng cách đặt giá trị chung của các phân số là kk𝑘. Bước 1: Đặt biểu thức bằng một hằng số kk𝑘 Đặt a+b−3cc=b+c−3aa=c+a−3bb=kthe fraction with numerator a plus b minus 3 c and denominator c end-fraction equals the fraction with numerator b plus c minus 3 a and denominator a end-fraction equals the fraction with numerator c plus a minus 3 b and denominator b end-fraction equals k𝑎+𝑏−3𝑐𝑐=𝑏+𝑐−3𝑎𝑎=𝑐+𝑎−3𝑏𝑏=𝑘. Từ đó, ta có hệ phương trình sau:

a+b−3c=kc⟹a+b=(k+3)ca plus b minus 3 c equals k c ⟹ a plus b equals open paren k plus 3 close paren c𝑎+𝑏−3𝑐=𝑘𝑐⟹𝑎+𝑏=(𝑘+3)𝑐
b+c−3a=ka⟹b+c=(k+3)ab plus c minus 3 a equals k a ⟹ b plus c equals open paren k plus 3 close paren a𝑏+𝑐−3𝑎=𝑘𝑎⟹𝑏+𝑐=(𝑘+3)𝑎
c+a−3b=kb⟹c+a=(k+3)bc plus a minus 3 b equals k b ⟹ c plus a equals open paren k plus 3 close paren b𝑐+𝑎−3𝑏=𝑘𝑏⟹𝑐+𝑎=(𝑘+3)𝑏

Bước 2: Tìm giá trị của kk𝑘 Cộng vế theo vế ba phương trình trên, ta được:
(a+b)+(b+c)+(c+a)=(k+3)c+(k+3)a+(k+3)bopen paren a plus b close paren plus open paren b plus c close paren plus open paren c plus a close paren equals open paren k plus 3 close paren c plus open paren k plus 3 close paren a plus open paren k plus 3 close paren b(𝑎+𝑏)+(𝑏+𝑐)+(𝑐+𝑎)=(𝑘+3)𝑐+(𝑘+3)𝑎+(𝑘+3)𝑏 2(a+b+c)=(k+3)(a+b+c)2 open paren a plus b plus c close paren equals open paren k plus 3 close paren open paren a plus b plus c close paren2(𝑎+𝑏+𝑐)=(𝑘+3)(𝑎+𝑏+𝑐) Vì a,b,c>0a comma b comma c is greater than 0𝑎,𝑏,𝑐>0 nên a+b+c>0a plus b plus c is greater than 0𝑎+𝑏+𝑐>0. Do đó, ta có thể chia cả hai vế cho (a+b+c)open paren a plus b plus c close paren(𝑎+𝑏+𝑐):
2=k+3⟹k=2−3=-12 equals k plus 3 ⟹ k equals 2 minus 3 equals negative 12=𝑘+3⟹𝑘=2−3=−1 Bước 3: Tìm mối quan hệ giữa a,b,ca comma b comma c𝑎,𝑏,𝑐 Thay giá trị k=-1k equals negative 1𝑘=−1 vào các phương trình ở Bước 1, ta được:

a+b=(-1+3)c⟹a+b=2ca plus b equals open paren negative 1 plus 3 close paren c ⟹ a plus b equals 2 c𝑎+𝑏=(−1+3)𝑐⟹𝑎+𝑏=2𝑐
b+c=(-1+3)a⟹b+c=2ab plus c equals open paren negative 1 plus 3 close paren a ⟹ b plus c equals 2 a𝑏+𝑐=(−1+3)𝑎⟹𝑏+𝑐=2𝑎
c+a=(-1+3)b⟹c+a=2bc plus a equals open paren negative 1 plus 3 close paren b ⟹ c plus a equals 2 b𝑐+𝑎=(−1+3)𝑏⟹𝑐+𝑎=2𝑏

Từ phương trình a+b=2ca plus b equals 2 c𝑎+𝑏=2𝑐, ta có a+b−c=ca plus b minus c equals c𝑎+𝑏−𝑐=𝑐.
Từ phương trình b+c=2ab plus c equals 2 a𝑏+𝑐=2𝑎, ta có b+c−a=ab plus c minus a equals a𝑏+𝑐−𝑎=𝑎.
Từ phương trình c+a=2bc plus a equals 2 b𝑐+𝑎=2𝑏, ta có c+a−b=bc plus a minus b equals b𝑐+𝑎−𝑏=𝑏. Để chứng minh a=b=ca equals b equals c𝑎=𝑏=𝑐, ta có thể lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1):
(b+c)−(a+b)=2a−2copen paren b plus c close paren minus open paren a plus b close paren equals 2 a minus 2 c(𝑏+𝑐)−(𝑎+𝑏)=2𝑎−2𝑐 c−a=2a−2cc minus a equals 2 a minus 2 c𝑐−𝑎=2𝑎−2𝑐 3c=3a⟹a=c3 c equals 3 a ⟹ a equals c3𝑐=3𝑎⟹𝑎=𝑐 Tương tự, lấy phương trình (3) trừ đi phương trình (2):
(c+a)−(b+c)=2b−2aopen paren c plus a close paren minus open paren b plus c close paren equals 2 b minus 2 a(𝑐+𝑎)−(𝑏+𝑐)=2𝑏−2𝑎 a−b=2b−2aa minus b equals 2 b minus 2 a𝑎−𝑏=2𝑏−2𝑎 3a=3b⟹a=b3 a equals 3 b ⟹ a equals b3𝑎=3𝑏⟹𝑎=𝑏 Từ a=ca equals c𝑎=𝑐 và a=ba equals b𝑎=𝑏, ta suy ra a=b=ca equals b equals c𝑎=𝑏=𝑐.

Đáp án: Ba số a,b,ca comma b comma c𝑎,𝑏,𝑐 thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi a=b=ca equals b equals c𝑎=𝑏=𝑐.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP