\(a,\Delta ABC\) cân nên MH là p/g cũng là trung trực NK

Mà \(I\in MH\) nên \(NI=IK\)

\(\Rightarrow\Delta NIK\) cân tại \(I\Rightarrow\widehat{INK}=\widehat{IKN}\)

\(\Rightarrow\widehat{MNK}-\widehat{INK}=\widehat{MKN}-\widehat{IKN}\left(\Delta MNP.cân\right)\\ \Rightarrow\widehat{ANI}=\widehat{BKI}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ANI}=\widehat{BKI}\left(cm.trên\right)\\NI=IK\left(cm.trên\right)\\\widehat{AIN}=\widehat{BIK}\left(đối.đỉnh\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AIN=\Delta BIK\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AN=BK\Rightarrow\dfrac{AN}{MN}=\dfrac{BK}{MK}\left(MN=MK.do.\Delta MNK.cân\right)\)

\(\Rightarrow AB//NK\left(Talét.đảo\right)\\ \Rightarrow ABKN.là.hthang\)

Mà \(\widehat{MNK}=\widehat{MKN}\Rightarrow ABKN.là.hthang.cân\)

\(b,MH\perp NK\left(trung.trực\right)\\ \Rightarrow MH\perp AB\left(NK//AB\right)\Rightarrow MI\perp AB\)

Mà MI là p/g \(\Delta MNK\) nên cũng là p/g \(\Delta MAB\)

\(\Rightarrow\Delta MAB\) cân tại M

\(\Rightarrow MI\) là p/g cũng là trung trực AB

Mà MI là trung trực KN

\(\RightarrowĐpcm\)

a) MH là đường trung trực của AB , I thuộc MH => IN = IK

=> tam giác INK cân tại I => Góc INH = góc IKH

Mà góc MNK = góc MKN vì tam giác MNK cân tại M

=> Góc BNA = góc AKB . Dễ dàng suy ra tam giác AIN = tam giác BIK (g.c.g)

=> AN = BK . Đến đây áp dụng định lí ta lét đảo được AB // NK => ABKN là hình thang có hai góc kề 1 đáy bằng nhau => ABKN là hình thang cân

b) MK là đường trung trực của NK vì tam giác MNK cân, có đường phân giác MI

Vì AB // NK nên tam giác MAB cân tại M => có điều tương tự.

Chúc bạn học tốt !

M N K H A B I

Xét tam giác \(\Delta ANK\)VÀ\(\Delta BNK\)

            \(\widehat{ANK}=\widehat{BNK}\)

              \(\widehat{AKN}=\widehat{BNK}\)

              KN là cạnh cụng 

=> 2 tam giác = nhau ( g.c.g )

=> BN =AK ( 2 cạnh tương ứng )

=> ABKN là hình thang cân ( 2 dường chéo = nhau )

b)  Ta có : ΔMKN là tam giác cân
=> MH là đường phân giác cũng là đường trung trực 
Mà BA// KN ( hình thang ) 
    BK = AN => MB = MA 
 => MBA là tam giác cân ( đồng dạng với ΔMKN)
=> MI là trung trực chung của AB và KN ( dpcm)

M N P A B I

Xét \(\Delta APN\) Và \(\Delta BNP\)Có :

  \(\widehat{ANP}=\widehat{BPN}\)

  \(\widehat{APN}=\widehat{BNP}\)

PN là cạnh chung

=> \(\Delta APN=\Delta BNP\left(g-c-g\right)\)

=> PA = NB ( cạnh chung )

=> tứ giác ABPN là hình thang ( 2 đường chéo =  nhau ) (dpcm) 

b) Ta có : \(\Delta MNP\) là tam giác cân

=> MH là đường phân giác cũng là đường trung trực 

Mà BA// PN ( hình thang ) 

    BP = AN => MB = MA 

 => MBA là tam giác cân ( đồng dạng với \(\Delta MNP\))

=> MI là trung trực chung của AB và PN ( dpcm)

Diep tu anh ban can chung minh song song o cau a

a: Xét ΔMIN và ΔMIK có

MI chung

\(\hat{IMN}=\hat{IMK}\)

MN=MK

Do đó: ΔMIN=ΔMIK

=>IN=IK và \(\hat{MNI}=\hat{MKI}\)

Xét ΔIAN và ΔIBK có

\(\hat{INA}=\hat{IKB}\)

IN=IK

\(\hat{AIN}=\hat{BIK}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔIAN=ΔIBK

=>IA=IB và AN=BK

MA+AN=MN

MB+BK=MK

mà AN=BK và MN=MK

nên MA=MB

IA+IK=AK

IB+IN=BN

mà IA=IB và IK=IN

nên AK=BN

Xét ΔMNK có \(\frac{MA}{MN}=\frac{MB}{MK}\)

nên AB//NK

Xét tứ giác ABKN có

AB//KN

AK=BN

Do đó: ABKN là hình thang cân

b: Ta có: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

IA=IB

=>I nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MI là đường trung trực của AB

=>A đối xứng B qua MI