2|x-m|+x²+2 > 2mx

<=> 2x-2m+x²+2-2mx >0

<=> x²+2(1-m)x+2 -2m >0

Ta có: a+b+c >0 pt luôn có 2 nghiệm

x₁=1; x₂=2-2m

=>2-2m \(\ne\)0 => m\(\ne\)1

=> m\(\in\varnothing\)

Câu 1:

\(a=3>0\)

\(\Delta'=\left(m+5\right)^2-3\left(-m^2+2m+8\right)=\left(2m+1\right)^2\)

TH1: \(\Delta'=0\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\x_1\le-1< 1\le x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\frac{1}{2}\\f\left(-1\right)\le0\\f\left(1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\frac{1}{2}\\-m^2+4m+21\le0\\-m^2+1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne\frac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m\le-3\\m\ge7\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\le-3\\m\ge7\end{matrix}\right.\)

Câu 2:

- Với \(m=-1\Rightarrow6x+6< 0\Rightarrow x< -1\)

- Với \(m\ne-1\)

\(\Delta'=\left(2m-1\right)^2+\left(m+1\right)\left(4m-2\right)=8m^2-2m-1\)

TH1: \(m>-1\)

+ Nếu \(\Delta\le0\Leftrightarrow-\frac{1}{4}\le m\le\frac{1}{2}\Rightarrow\) BPT vô nghiệm

+ Nếu \(\Delta>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< m< -\frac{1}{4}\\m>\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

BPT có nghiệm: \(\frac{2m-1-\sqrt{\Delta}}{m+1}< x< \frac{2m-1+\sqrt{\Delta}}{m+1}\)

TH2: \(m< -1\)

\(\Rightarrow\Delta=8m^2-2m-1>0\)

\(\Rightarrow\) BPT có nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x>\frac{2m-1-\sqrt{\Delta}}{m+1}\\x< \frac{2m+1+\sqrt{\Delta}}{m+1}\end{matrix}\right.\)

f(x)>0 <=>\(x^2-\left(m+2\right)x+2m+1>0\)

Bất phương trình có a=1>0

=>Bất phương trình đúng với mọi x thuộc tập số thực

<=>\(\Delta< 0\)(Vì khi \(\Delta\)<0 thì f(x) cùng dấu a với mọi x thuộc tập số thực)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)^2-4\left(2m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow m^2-12m< 0\)

\(\Leftrightarrow0< m< 12\)

\(f\left(x\right)=x^2+2\left(m+1\right)x+m+3\)

Để \(f\left(x\right)\ge0\)với mọi \(x\inℝ\)thì: 

\(\hept{\begin{cases}a=1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m+3\right)\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow m^2+m-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m\ge1\\m\le-2\end{cases}}\).

a, \(f\left(x\right)=-x^2+mx+m+1\)

Để f(x) \(\le0\) \(\forall x\in R\) mà \(a=-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\Delta\le0\) \(\Leftrightarrow\Delta=m^2+4\left(m+1\right)\le0\Leftrightarrow m^2+4m+4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\le0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2=0\Leftrightarrow m=-2\)

b, Để hàm số y xác định \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow mx^2-2mx+2\ge0\) có nghiệm \(\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=4m^2-2.4.m\le0\\a=m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le m\le2\\m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow0< m\le2\)

a/ Do \(a=-1< 0\)

\(\Rightarrow\) Để \(f\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in R\Leftrightarrow\Delta'\le0\)

\(\Leftrightarrow m^2+4\left(m+1\right)\le0\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow m=-2\)

b/ Để hàm số xác định với mọi x

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=mx^2-2mx+2\ge0\) \(\forall x\)

- Với \(m=0\Rightarrow f\left(x\right)=2\) thỏa mãn

- Với \(m\ne0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'=m^2-2m\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\0< m< 2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(0\le m< 2\)

Do \(x^2-2x+3=\left(x-1\right)^2+2>0\) \(\forall x\) nên BPT tương đương:

\(-2\left(x^2-2x+3\right)< x^2-4x+m< 3\left(x^2-2x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x^2-8x+m+6>0\\2x^2-2x+9-m>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=16-3\left(m+6\right)< 0\\\Delta'=1-2\left(9-m\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3m-2< 0\\2m-17< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{-3}{2}< m< \frac{17}{2}\)