\(a,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\)( BĐT cô-si dạng engel)

\(\frac{4}{2+a+b}\le\frac{4}{2+2\sqrt{ab}}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}=VP\)(bđt tương đương)

vậy cả hai bđt dấu "=" xảy ra đồng thời

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}\\a=b=1\end{cases}}\)

vậy \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi \(a=b=1\)

\(b,\)\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi bđt cô -si không xảy ra dấu bằng

và bđt tương đương xảy ra dấu bằng

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}>\frac{4}{2+a+b}\\4+4\sqrt{ab}=4+2a+2b\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}4+a^2+b^2+4a+4b+2ab>4+4a+4a+4ab\\2\sqrt{ab}=a+b\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2>2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)

\(0>2ab\)

\(ab< 0\)

rồi chia ra từng TH 

ra đc \(TH1:\hept{\begin{cases}a< 0\\b>0\end{cases}}\)

\(TH2:\hept{\begin{cases}a>0\\b< 0\end{cases}}\)

\(c,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi 

bđt cô- si dạng engel lớn hơn hoặc bằng còn bđt tương đương thì dấu bằng xảy ra

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)

\(< =>0\ge2ab\)

vì đề bài cho \(a,b>0\)lên dấu bằng không xảy ra

vậy không có giá trị a,b nào thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)

câu d lập luận như các câu trên cậu làm nốt nha

a/ \(1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}=1+\dfrac{1}{2.2}+...+\dfrac{1}{n.n}\)

\(< 1+\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(=1+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)

\(=1+1-\dfrac{1}{n}=2-\dfrac{1}{n}< 2\)

Câu b dùng quy nạp đi b

d)

Đặt \(\frac{1}{x-1}=a;\frac{1}{y+2}=b\) ta được

\(\left\{{}\begin{matrix}8a+15b=1\\a+b=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{179}{7}\\b=\frac{-95}{7}\end{matrix}\right.\)

thay lại ta đc

\(\frac{1}{x-1}=\frac{179}{7}\Leftrightarrow179x=186\Rightarrow x=\frac{186}{179}\)

\(\frac{1}{y+2}=\frac{-95}{7}\Leftrightarrow-95y=197\Rightarrow y=\frac{-195}{7}\)

ý d mk ko bt là đúng hay ko đâu

ý b dễ nên mk giải ý c và d thôi nha

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{3}{5x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{10}\\\frac{3}{4x}+\frac{3}{4y}=\frac{1}{12}\end{matrix}\right.\) Đặt \(\frac{3}{x}=a:\frac{1}{y}=b\) ta đcc

\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{5}+b=\frac{1}{10}\\\frac{a}{4}+\frac{3b}{4}=\frac{1}{12}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+10=1\\3a+9b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{1}{12}\\b=\frac{1}{12}\end{matrix}\right.\)

thay lại ta được

\(\frac{3}{x}=\frac{1}{12}\Rightarrow x=36\)

\(\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\Rightarrow y=12\)

ta có \(\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)^2=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}+2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

=\(1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}+2\left(\frac{n+1-n-1}{n\left(n+1\right)}\right)=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\left(ĐPCM\right)\)

^_^

c) ĐKXĐ: \(x\in R\)

PT\(\Leftrightarrow\left|x-3\right|=3-x=-\left(x-3\right)\)

\(\Rightarrow x-3< 0\)\(\Leftrightarrow x< 3\)

d) ĐKXĐ: \(\frac{-5}{2}\le x\le1\)

PT\(\Leftrightarrow2x+5=1-x\Leftrightarrow3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{-4}{3}\)

e) \(\left|x^2-1\right|+\left|x+1\right|=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-1=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}x^2=1\\x=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=-1}\)

Lời giải:

a)

Sử dụng pp biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

\(\Leftrightarrow (ab+1)(a^2+b^2+2)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2)+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (ab-1)(a-b)^2\geq 0\) (luôn đúng với mọi $ab\geq 1$)

Ta có đpcm.

b) Áp dụng công thức của phần a ta có:

\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}\geq \frac{2}{1+(ab)^2}\)

Tiếp tục áp dụng công thức phần a: \(\frac{1}{1+(ab)^2}+\frac{1}{1+b^4}\geq \frac{2}{1+ab^3}\)

Do đó:

\(\frac{1}{a^4+1}+\frac{3}{b^4+1}\geq \frac{4}{1+ab^3}\)

Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{b^4+1}+\frac{3}{c^4+1}\geq \frac{4}{1+bc^3}; \frac{1}{c^4+1}+\frac{3}{a^4+1}\geq \frac{4}{1+ca^3}\)

Cộng theo vế các BĐT trên thu được:

\(4\left(\frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\right)\geq 4\left(\frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{a^4+1}+\frac{1}{b^4+1}+\frac{1}{c^4+1}\geq \frac{1}{1+ab^3}+\frac{1}{1+bc^3}+\frac{1}{1+ca^3}\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

MN ƠI GIÚP MK NHA MAI MIK ĐI HOK R

nhìn mà nhác giải vl :v

a) \(\sqrt{3x^2-2x+1}+4x=\sqrt{3x^2+2x}+1\)

<=> \(\sqrt{3x^2-2x+1}=\sqrt{3x^2+2x}+1-4x\)

<=> \(\left(\sqrt{3x^2-2x+1}\right)^2=\left(\sqrt{3x^2+2x}+1-4x\right)^2\)

<=> \(3x^2-2x+1=19x^2-8\sqrt{3x^2+2x}.x-6x+2\sqrt{3x^2+2x}+1\)

<=> \(-16x^2+8\sqrt{3x^2+2x}.x+4x-2\sqrt{3x^2+2x}=0\)

<=> \(-2\left(4x-1\right)\left(2x-\sqrt{3x^2+2x}\right)=0\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\x=0\\x=2\end{cases}}\) <=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\x=0\end{cases}}\) (vì k có ngoặc vuông 3 nên mình dùng tạm ngoặc nhọn, thông cảm)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\x=2\end{cases}}\)

b) \(\sqrt{x^2+x-2}+x^2=\sqrt{2\left(x-1\right)}+1\)

<=> \(\sqrt{x^2+x-2}=\sqrt{2\left(x-1\right)}+1-x^2\)

<=> \(\left(\sqrt{x^2+x-2}\right)^2=\left[\sqrt{2\left(x-1\right)}+1-x^2\right]^2\)

<=> \(x^2+x-2=x^4-2\sqrt{2}.x^2.\sqrt{x-1}-2x^2+2x+2\sqrt{2}.\sqrt{x-2}-1\)

<=> \(x^4-2\sqrt{2}.x^2.\sqrt{x-1}-2x^2+2x+2\sqrt{2}.\sqrt{x-1}-1=x^2+x-2\)

<=> \(-2\sqrt{2}.x^2.\sqrt{x-1}+2\sqrt{2}.\sqrt{x-1}-1=-x^4+3x^2-x-2\)

<=> \(-2\sqrt{2}.x^2.\sqrt{x-1}+2\sqrt{2}.\sqrt{x-1}=-x^4+3x^2-x-1\)

<=> \(-2\sqrt{2}.\sqrt{x-1}.\left(x^2+1\right)=-x^4+3x^2-x-1\)

<=> \(\left[-2\sqrt{2}.\sqrt{x-1}\left(x^2+1\right)\right]^2=\left(-x^4+3x^2-x-1\right)^2\)

<=> \(8x^5-8x^4-16x^3+16x^2+8x-8=x^8-6x^6+2x^5+11x^4-6x^3-5x^2+2x+1\)

<=> x = 1

d) mình làm tắt cho nhanh 

d) \(\left(\sqrt{4+x}-1\right)\left(\sqrt{1-x}+1\right)=2x\)

<=> \(\sqrt{4+x}.\sqrt{x-1}+\sqrt{4+x}-\sqrt{x-1}-1=2x\)

<=> \(\sqrt{4+x}.\sqrt{1-x}+\sqrt{4+x}-\sqrt{1-x}=2x+1\)

<=> \(\sqrt{4+x}.\sqrt{x-1}+\sqrt{4+x}=2x+1+\sqrt{x-1}\)

<=> \(\left(\sqrt{4+x}.\sqrt{1-x}+\sqrt{4+x}\right)^2=\left(2x+1+\sqrt{1-x}\right)^2\)

<=> \(2\sqrt{-x+1}.\left(x+4\right)=5x^2+4x\sqrt{-x+1}+5x+2\sqrt{-x+1}-6\)

<=> \(\frac{2\sqrt{-x+1}.\left(x+4\right)}{2\left(x+4\right)}=\frac{5x^2}{2\left(x+4\right)}+\frac{4x\sqrt{-x+1}}{2\left(x+4\right)}+\frac{5x}{2\left(x+4\right)}+\frac{2\sqrt{-2x+1}}{2\left(x+4\right)}-\frac{6}{2\left(x+4\right)}\)

<=> \(\sqrt{-x+1}=\frac{5x^2+4x\sqrt{-x+1}+5x+2\sqrt{-x+1}-6}{2\left(4+x\right)}\)

<=> \(2\sqrt{-x+1}.\left(4+x\right)=5x^2+4x\sqrt{-x+1}+5x+2\sqrt{-x+1}-6\)

<=> \(-2x\sqrt{-x+1}+6\sqrt{-x+1}=5x^2+5x-6\)

<=> \(\frac{2\sqrt{-x+1}.\left(-x+3\right)}{2\left(-x+3\right)}=\frac{5x^2}{2\left(-x+3\right)}+\frac{5x}{2\left(-x+3\right)}-\frac{6}{2\left(-x+3\right)}\)

<=> \(\sqrt{-x+1}=\frac{5x^2+5x-6}{2\left(x-3\right)}\)

<=> \(\left(\sqrt{-x+1}\right)^2=\left[\frac{5x^2+5x-6}{2\left(3-x\right)}\right]^2\)

<=> \(-x+1=\frac{25x^4+50x^3-35x^2-60x+36}{36-24+4x}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\x=\frac{21}{25}\\x=-3\end{cases}}\)=> x = 21/25 (lý do dùng ngoặc nhọn như lý do mình ghi ở trên =))) )

=> x = 21/25