a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>\(AH=\frac{48}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B\(=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac45\)

nên \(\hat{B}\) ≃53 độ

b: Xét ΔABC vuông tại A có

\(cosB=\frac{AB}{BC};cosC=\frac{AC}{BC}\)

\(AB\cdot cosB+AC\cdot cosC\)

\(=AB\cdot\frac{AB}{BC}+AC\cdot\frac{AC}{BC}\)

\(=\frac{AB^2+AC^2}{BC}=\frac{BC^2}{BC}=BC\)

Xét trường hợp D nằm ngoài OC (trường hợp còn lại em tự xét).

a.

Do đường tròn đường kính OA cắt OC tại D nên ∠ADO là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\angle ADO=90^0\Rightarrow\angle ADC=90^0\)

=>D thuộc đường tròn đường kính AC (1)

Do CH⊥AB tại H nên \(\angle AHC=90^0\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính AC (2)

(1),(2) =>4 điểm A,C,D,H đồng viên

b.

Do A,C,D,H đồng viên (cmt) nên ∠ACD=∠AHD (cùng chắn AD) (3)

Lại có OA=OC (cùng là bán kính của (O)) =>ΔOAC cân tại O

=>∠ACD=∠CAO (4)

(3),(4) =>∠AHD=∠CAO

=>HD song song AC (hai góc so le trong bằng nhau)

a: \(\begin{cases}3x-2y=7\\ -6x+4y=-9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6x-4y=14\\ -6x+4y=-9\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}6x-4y-6x+4y=14-9=5\\ 3x-2y=7\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0y=5\\ 3x-2y=7\end{cases}\)

=>Hệ vô nghiệm

b: \(\begin{cases}2x+4y=9\\ -3x-6y=-27\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6x+8y=18\\ -6x-12y=-54\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}6x+8y-6x-12y=18-54=-36\\ 2x+4y=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-4y=-36\\ 2x=9-4y\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=9\\ 2x=9-4\cdot9=9-36=-27\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=9\\ x=-\frac{27}{2}\end{cases}\)

c: \(\begin{cases}5x+y=3\\ 4x-2y=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}10x+2y=6\\ 4x-2y=9\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}10x+2y+4x-2y=6+9\\ 5x+y=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}14x=15\\ y=3-5x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{15}{14}\\ y=3-5\cdot\frac{15}{14}=3-\frac{75}{14}=\frac{42}{14}-\frac{75}{14}=\frac{-33}{14}\end{cases}\)

d: \(\begin{cases}2x-3y=-5\\ -4x+6y=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x-6y=-10\\ -4x+6y=10\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4x-6y-4x+6y=-10+10=0\\ 2x-3y=-5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0y=0\\ 2x=3y-5\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y\in R\\ x=\frac{3y-5}{2}\end{cases}\)

a) Do MN ⊥ OA tại H (gt)

⇒ H là trung điểm của MN

Tứ giác OMAN có:

H là trung điểm của OA (gt)

H là trung điểm của MN (cmt)

⇒ OMAN là hình thoi

⇒ OA là tia phân giác của ∠MON (1)

Do BM và BN là hai tiếp tuyến của (O) (gt)

⇒ OB là tia phân giác của ∠MON (2)

Từ (1) và (2) suy ra O, A, B thẳng hàng

b) Do OMAN là hình thoi (cmt)

⇒ AM = OA = OM = R

⇒ ∆OAM là tam giác đều

⇒ ∠MOA = 60⁰

⇒ ∠MOB = 60⁰

Do BM là tiếp tuyến của (O) (gt)

⇒ BM ⊥ OM

⇒ ∆OMB vuông tại M

⇒ ∠OBM + ∠MOB = 90⁰

⇒ ∠OBM = 90⁰ - ∠MOB = 90⁰ - 60⁰ = 30⁰

Do BM và BN là hai tiếp tuyến của (O) (gt)

⇒ BO là tia phân giác của ∠MBN

⇒ ∠MBN = 2.∠OBM = 2.30⁰ = 60⁰

Do BM và BN là hai tiếp tuyến của (O) (gt)

⇒ BM = BN

∆BMN có:

BM = BN (cmt)

⇒ ∆BMN cân tại B

Mà ∠MBN = 60⁰ (cmt)

⇒ ∆BMN là tam giác đều

c) ∆OMB vuông tại M (cmt)

Do MN ⊥ OA tại H (gt)

⇒ MH ⊥ OB

⇒ MH là đường cao của ∆OMB

⇒ OH.OB = OM²

Hay OH.OB = R²

d) ∆OMB vuông tại B (cmt)

⇒ BM = OM.tanMOB

= R.tan30⁰